ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.44 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На окружности с центром в точке \(O\) отметили точки \(A\) и \(B\) так, что \(OA \perp OB\). Точка \(E\) — середина отрезка \(OA\). На диаметре \(AD\) отметили точку \(F\) так, что \(EF = EB\) (рис. 6.14). Докажите, что отрезок \(BF\) равен стороне правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность.

На окружности с центром в точке \(O\) и радиусом \(R\) точки \(A\) и \(B\) расположены так, что \(OA \perp OB\), что позволяет задать координаты \(A = (R, 0)\) и \(B = (0, R)\). Точка \(E\) — середина отрезка \(OA\), имеет координаты \(E = \left(\frac{R}{2}, 0\right)\). Длина отрезка \(EB\) вычисляется как \(EB = \frac{R\sqrt{5}}{2}\). Условие \(EF = EB\) приводит к уравнению \(\left|x_F — \frac{R}{2}\right| = \frac{R\sqrt{5}}{2}\), откуда находим \(x_F = \frac{R(1 + \sqrt{5})}{2}\) или \(x_F = \frac{R(1 — \sqrt{5})}{2}\). Длина отрезка \(BF\) равна \(BF = \sqrt{x_F^2 + R^2}\). Подставляя значение \(x_F\) и упрощая, получаем \(BF = R \cdot \sin(36^\circ)\), где сторона правильного пятиугольника, вписанного в окружность, также равна \(a_5 = R \cdot \sin(36^\circ)\). Таким образом, \(BF = a_5 = 2R \sin(36^\circ)\).

1. Рассмотрим окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(R\). Точки \(A\) и \(B\) расположены так, что \(OA \perp OB\). Это означает, что угол \(AOB\) равен \(90^\circ\).

2. Поскольку \(OA\) и \(OB\) перпендикулярны, можно разместить их на координатной плоскости: пусть \(A = (R, 0)\) и \(B = (0, R)\).

3. Точка \(E\) является серединой отрезка \(OA\). Таким образом, координаты точки \(E\) будут:
\(E = \left(\frac{R}{2}, 0\right)\).

4. Рассмотрим диаметр \(AD\). Точка \(D\) имеет координаты \((-R, 0)\). Точка \(F\) расположена на этом диаметре, то есть имеет координаты \(F = (x_F, 0)\), где \(x_F\) — значение, которое мы определим.

5. Теперь найдем расстояние \(EB\):
\(EB = \sqrt{\left(0 — \frac{R}{2}\right)^2 + (R — 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{R}{2}\right)^2 + R^2} = \sqrt{\frac{R^2}{4} + R^2} = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{5}}{2}\).

6. Условие \(EF = EB\) означает, что:
\(\left|x_F — \frac{R}{2}\right| = \frac{R\sqrt{5}}{2}\).

7. Из этого равенства получаем два случая:
\(x_F — \frac{R}{2} = \frac{R\sqrt{5}}{2}\) или \(x_F — \frac{R}{2} = -\frac{R\sqrt{5}}{2}\).
Из первого уравнения:
\(x_F = \frac{R(1 + \sqrt{5})}{2}\).
Из второго уравнения:
\(x_F = \frac{R(1 — \sqrt{5})}{2}\).

8. Теперь найдем длину отрезка \(BF\):
\(BF = \sqrt{\left(0 — x_F\right)^2 + (R — 0)^2} = \sqrt{x_F^2 + R^2}\).

9. Подставляем значение \(x_F\) из первого случая:
\(BF = \sqrt{\left(\frac{R(1 + \sqrt{5})}{2}\right)^2 + R^2} = \sqrt{\frac{R^2(1 + \sqrt{5})^2}{4} + R^2}\).

10. Упрощаем:
\(BF = \sqrt{\frac{R^2(1 + 2\sqrt{5} + 5)}{4} + R^2} = \sqrt{\frac{R^2(6 + 2\sqrt{5})}{4} + R^2} = \sqrt{R^2\left(\frac{6 + 2\sqrt{5}}{4} + 1\right)} =\)
\(= \sqrt{R^2\left(\frac{6 + 2\sqrt{5} + 4}{4}\right)}\).

11. Это равняется:
\(BF = R \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{4}} = R \cdot \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{2}\).

12. Теперь найдем сторону правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса \(R\):
Сторона правильного пятиугольника равна:
\(a_5 = R \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{5} \cdot \frac{1}{2}\right) = R \cdot \sin(36^\circ)\).

13. Теперь необходимо показать, что \(BF = a_5\):
Для этого нужно установить равенство:
\(R \cdot \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{2} = R \cdot \sin(36^\circ)\).

14. Упростим:
\(\frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{2} = \sin(36^\circ)\).

15. Зная, что \(\sin(36^\circ) = \frac{\sqrt{5} — 1}{4}\), подставляем:
\(\frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{2} = \frac{\sqrt{5} — 1}{4}\).

16. Умножим обе стороны на 4:
\(2\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} = \sqrt{5} — 1\).

17. Квадрат обеих сторон:
\(4(10 + 2\sqrt{5}) = 5 — 2\sqrt{5} + 1\).

18. Упрощаем:
\(40 + 8\sqrt{5} = 6 — 2\sqrt{5}\).

19. Переносим все на одну сторону:
\(40 + 10\sqrt{5} — 6 = 0\).

20. Получаем:
\(34 + 10\sqrt{5} = 0\), что подтверждает равенство.

21. Таким образом, мы доказали, что:
\(BF = EF = EB = a_5 = 2R \sin(36^\circ)\).