ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.46 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Каждую точку окружности покрасили в один из двух цветов: красный или синий. Докажите, что в эту окружность можно вписать равнобедренный треугольник, все вершины которого одного цвета.
В окружности, на которой \( n \) точек окрашены в два цвета (красный и синий), по принципу Дирихле при достаточном количестве точек (например, \( n \geq 5 \)) обязательно найдется три точки одного цвета или две точки одного цвета и одна другого. Если три точки одного цвета, например, RRR, то они могут образовать равнобедренный треугольник. Если две точки одного цвета, например, R и одна синяя B, то также можно построить равнобедренный треугольник, используя две красные точки как основание и синюю как вершину. Таким образом, в окружности всегда можно вписать равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета.
Для доказательства задачи о том, что в окружность, покрашенную в два цвета, можно вписать равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета, рассмотрим следующие шаги.
Пусть у нас есть окружность, на которой размещены \( n \) точек, каждая из которых окрашена в красный (R) или синий (B) цвет. Мы будем использовать комбинаторный подход для анализа возможных комбинаций цветов.
1. Сначала определим, что на окружности можно выбрать любые три точки. Обозначим их как \( P_1, P_2, P_3 \). Рассмотрим все возможные комбинации цветов для этих трех точек. Возможные варианты распределения цветов таковы:
— Все три точки одного цвета: RRR или BBB.
— Две точки одного цвета и одна другого: RRB, RBB, BRR, BBR, BRB, RBB.
2. Если среди трех выбранных точек все три окрашены в один цвет, например, RRR, то мы можем сразу построить равнобедренный треугольник, используя любые две из этих точек, например, \( P_1 \) и \( P_2 \), и третью точку \( P_3 \) как вершину, которая находится на окружности. В этом случае, треугольник \( P_1P_2P_3 \) будет равнобедренным, так как \( P_1 \) и \( P_2 \) равны по расстоянию до \( P_3 \).
3. Если же среди трех точек две окрашены в один цвет, а одна в другой, например, \( P_1 \) и \( P_2 \) — красные, а \( P_3 \) — синяя, то мы можем также построить равнобедренный треугольник. В этом случае, треугольник \( P_1P_2P_3 \) будет равнобедренным, так как расстояния от \( P_3 \) до \( P_1 \) и \( P_2 \) могут быть равны, если \( P_3 \) расположена на окружности так, чтобы угол между \( P_1 \) и \( P_2 \) был равным.
4. Мы можем применить принцип Дирихле, который утверждает, что если \( n \) точек окрашены в два цвета, то при достаточном количестве точек (например, \( n \geq 5 \)) обязательно найдется хотя бы одна комбинация, где три точки будут одного цвета или две точки будут одного цвета, а одна — другого. Это гарантирует наличие хотя бы одного равнобедренного треугольника.
5. Рассмотрим случай, когда \( n = 6 \). Если мы имеем 6 точек, например, 4 красные и 2 синие, то среди любых трех точек, выбранных из этих шести, по крайней мере две будут одного цвета. Таким образом, мы можем выбрать три точки, например, \( P_1, P_2, P_3 \), где \( P_1 \) и \( P_2 \) — красные, а \( P_3 \) — синяя. В этом случае, как уже было показано, мы можем построить равнобедренный треугольник.
Таким образом, независимо от распределения цветов точек на окружности, всегда можно найти такую комбинацию, которая позволит построить равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета.
