ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.47 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В правильном 15-угольнике произвольным образом отметили 7 вершин. Докажите, что среди отмеченных точек найдутся три, которые являются вершинами равнобедренного треугольника.

В правильном 15-угольнике обозначим вершины как \( A_1, A_2, \ldots, A_{15} \) и разделим его на 5 правильных пятиугольников: \( A_1A_2A_3A_4A_5 \), \( A_5A_6A_7A_8A_9 \), \( A_9A_{10}A_{11}A_{12}A_{13} \), \( A_{13}A_{14}A_{15}A_1A_2 \). При отметке 7 вершин по принципу Дирихле в каком-то пятиугольнике будет как минимум 2 отмеченные вершины, что гарантирует, что среди них найдется хотя бы одна группа из 3 вершин, образующих равнобедренный треугольник, так как любые 3 вершины в правильном пятиугольнике образуют равнобедренный треугольник.

В правильном 15-угольнике обозначим вершины как \( A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{15} \). Разделим 15-угольник на 5 правильных пятиугольников следующим образом:

1. Первый пятиугольник: \( A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 \)
2. Второй пятиугольник: \( A_5, A_6, A_7, A_8, A_9 \)
3. Третий пятиугольник: \( A_9, A_{10}, A_{11}, A_{12}, A_{13} \)
4. Четвертый пятиугольник: \( A_{13}, A_{14}, A_{15}, A_1, A_2 \)

Каждый из этих пятиугольников содержит 5 вершин. У нас есть 7 отмеченных вершин. Применим принцип Дирихле: если 7 объектов (отмеченные вершины) распределяются по 5 ящикам (пятиугольникам), то в каком-то ящике будет как минимум \( \lceil \frac{7}{5} \rceil = 2 \) объекта.

Теперь, если в каком-то пятиугольнике окажется 3 или более отмеченные вершины, то они могут образовать равнобедренный треугольник. Рассмотрим один из пятиугольников, например, \( A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 \). Если в этом пятиугольнике отмечены 3 вершины, например, \( A_1, A_2, A_3 \), то треугольник \( A_1A_2A_3 \) будет равнобедренным, так как все стороны равны.

Аналогично, если в любом другом пятиугольнике окажется 3 отмеченные вершины, например, \( A_5, A_6, A_7 \) в пятиугольнике \( A_5, A_6, A_7, A_8, A_9 \), то треугольник \( A_5A_6A_7 \) также будет равнобедренным.

Таким образом, среди 7 отмеченных вершин в правильном 15-угольнике найдутся три, которые являются вершинами равнобедренного треугольника.