ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.48 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Все углы пятиугольника равны. Докажите, что сумма расстояний от любой точки пятиугольника до его сторон является величиной постоянной.

Для равностороннего пятиугольника \( ABCDE \) с равными углами \( \alpha = \frac{3\pi}{5} \) радиан, сумма расстояний от произвольной точки \( P \) до его сторон \( S = d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 \) остается постоянной. Площадь пятиугольника выражается как \( A = \frac{5}{4} a^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \), где \( a \) — длина стороны. Расстояние до каждой стороны можно выразить как \( d_i = \frac{2A}{a} = \frac{5}{2} a \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \), что не зависит от положения точки \( P \). Таким образом, сумма \( S = 5 \cdot \frac{5}{2} a \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{25}{2} a \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \) является постоянной величиной.

Рассмотрим равносторонний пятиугольник \( ABCDE \) с равными углами. Обозначим угол между соседними сторонами как \( \alpha \). Поскольку пятиугольник равносторонний, все углы равны и составляют \( \alpha = \frac{3\pi}{5} \) радиан или \( 108^\circ \).

Пусть \( P \) — произвольная точка внутри пятиугольника. Обозначим расстояния от точки \( P \) до сторон \( AB, BC, CD, DE, EA \) как \( d_1, d_2, d_3, d_4, d_5 \).

Сумма \( S = d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 \) должна быть постоянной величиной. Для этого рассмотрим высоты, опущенные из точки \( P \) на каждую из сторон.

Площадь пятиугольника можно выразить через его стороны и высоты. Обозначим длины сторон как \( a \). Площадь \( A \) равностороннего пятиугольника может быть найдена по формуле:

\( A = \frac{5}{4} a^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \).

Каждая высота \( d_i \) связана с площадью пятиугольника следующим образом:

\( A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot d_i \).

Таким образом, для каждой стороны:

\( d_i = \frac{2A}{a} \).

Теперь, подставляя выражение для площади \( A \):

\( d_i = \frac{2 \cdot \frac{5}{4} a^2 \cot\left(\frac{\pi}{5}\right)}{a} = \frac{5}{2} a \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \).

Это значение не зависит от положения точки \( P \), то есть:

\( d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 = 5 \cdot \frac{5}{2} a \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{25}{2} a \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \).

Таким образом, сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего пятиугольника до его сторон всегда равна \( \frac{25}{2} a \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \), что доказывает, что эта сумма является постоянной величиной.