ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 6.6 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Пусть \(a\), — длина стороны правильного треугольника, \(R\) и \(r\) — соответственно радиусы его описанной и вписанной окружностей. Заполните таблицу (длины даны в сантиметрах):

В правильном треугольнике со стороной \(a\) радиус описанной окружности \(R\) находится как \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\), а вписанной окружности \(r\) как \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\). Если дано \(R\), то \(a = R \cdot \sqrt{3}\), если дано \(r\), то \(a = r \cdot 2\sqrt{3}\). Решаем для каждой строки таблицы:

— Первая строка: \(a = 6\sqrt{3}\), тогда \(R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\), \(r = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3\).
— Вторая строка: \(R = 4\sqrt{3}\), тогда \(a = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12\), \(r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\).
— Третья строка: \(r = 2\), тогда \(a = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\), \(R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\).

Таблица:

Мы решаем задачу для правильного треугольника, где нужно найти значения сторон и радиусов окружностей на основе данных из таблицы. Давайте разберем все пошагово, с детальными объяснениями и выводами. Наша цель — заполнить таблицу, используя свойства правильного треугольника и формулы для радиусов описанной и вписанной окружностей. Мы будем работать с тремя строками таблицы, где в каждой строке дано одно значение, а остальные нужно найти. Для правильного треугольника со стороной \(a\) существуют строгие математические соотношения между стороной, радиусом описанной окружности \(R\) и радиусом вписанной окружности \(r\). Эти соотношения мы и будем использовать. Давайте начнем с теоретической базы, чтобы понять, откуда берутся формулы, и затем применим их к каждому случаю.

Сначала разберем, что такое правильный треугольник. Это треугольник, у которого все стороны равны, а все углы составляют 60 градусов. В таком треугольнике можно провести две важные окружности: описанную, которая проходит через все вершины треугольника, и вписанную, которая касается всех сторон треугольника. Центр обеих окружностей совпадает и находится в точке пересечения высот, медиан и биссектрис, что является особенностью правильного треугольника. Теперь выведем формулы для радиусов. Радиус описанной окружности \(R\) для правильного треугольника можно найти через формулу \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Почему так? Если мы рассмотрим треугольник, разделенный высотой, то получим два прямоугольных треугольника, где высота является катетом, половина стороны — вторым катетом, а радиус \(R\) — гипотенузой. Высота правильного треугольника равна \(\frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}\), а половина стороны — \(\frac{a}{2}\). Тогда по теореме Пифагора: \(R^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = a^2\), откуда \(R = a\). Но это не совсем верно, я ошибся в выводе, давайте исправим. На самом деле, радиус \(R\) связан с высотой и стороной через геометрию: высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника, и угол при вершине 60 градусов дает нам соотношение через синус. Синус 60 градусов равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), а противолежащий катет — это половина стороны, но правильнее использовать формулу \(R = \frac{a}{2 \cdot \sin(60^\circ)} = \frac{a}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Вот так мы получаем \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Теперь радиус вписанной окружности \(r\). Он равен половине радиуса описанной окружности в правильном треугольнике, так как высота делит треугольник особым образом. Формула для \(r\) выводится через площадь треугольника: площадь равна \(\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}\), а полупериметр \(s = \frac{3a}{2}\), тогда \(r = \frac{\text{площадь}}{s} = \frac{\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}} = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3a} = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{a}{2\sqrt{3}}\). Таким образом, у нас есть две ключевые формулы: \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\) и \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\). Также мы можем выразить \(a\) через \(R\) как \(a = R \cdot \sqrt{3}\), а через \(r\) как \(a = r \cdot 2\sqrt{3}\). Эти обратные формулы помогут нам, когда дана не сторона, а радиус.

Теперь, когда у нас есть теоретическая основа, давайте применим эти формулы к каждой строке таблицы. Начнем с первой строки. Здесь дана сторона \(a = 6\sqrt{3}\). Наша задача — найти \(R\) и \(r\). Используем формулу для радиуса описанной окружности: \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Подставляем значение: \(R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\). Сокращаем \(\sqrt{3}\) в числителе и знаменателе, получаем \(R = 6\). Теперь найдем радиус вписанной окружности по формуле \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\). Подставляем: \(r = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\). Сокращаем 6 на 2, получаем 3, а \(\sqrt{3}\) в числителе и знаменателе сокращается, итого \(r = 3\). Таким образом, для первой строки мы нашли \(R = 6\) и \(r = 3\). Запишем это в таблицу: \(a = 6\sqrt{3}\), \(R = 6\), \(r = 3\). Все значения совпадают с ожидаемыми, значит, мы на правильном пути.

Перейдем ко второй строке таблицы. Здесь нам дан радиус описанной окружности \(R = 4\sqrt{3}\), а нужно найти сторону \(a\) и радиус вписанной окружности \(r\). Сначала найдем \(a\), используя обратную формулу \(a = R \cdot \sqrt{3}\). Подставляем значение: \(a = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\). Умножаем корни, помня, что \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\), получаем \(a = 4 \cdot 3 = 12\). Итак, сторона треугольника равна 12. Теперь найдем радиус вписанной окружности \(r\). Мы можем использовать формулу \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), подставляя \(a = 12\): \(r = \frac{12}{2\sqrt{3}}\). Сокращаем 12 на 2, получаем 6, итого \(r = \frac{6}{\sqrt{3}}\). Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), получаем \(r = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\). Таким образом, для второй строки мы нашли \(a = 12\) и \(r = 2\sqrt{3}\). Проверим альтернативным способом: в правильном треугольнике \(r = \frac{R}{2}\), но это неверно, давайте уточним. На самом деле, из формул \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\) и \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\) видно, что \(R = 2r\), потому что \(\frac{a}{\sqrt{3}} = 2 \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}}\). Да, действительно, \(R = 2r\). Проверим: \(R = 4\sqrt{3}\), тогда \(r = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\), что совпадает с нашим результатом. Значит, все верно. Для второй строки: \(a = 12\), \(R = 4\sqrt{3}\), \(r = 2\sqrt{3}\).

Теперь разберем третью строку таблицы. Здесь нам дан радиус вписанной окружности \(r = 2\), а нужно найти сторону \(a\) и радиус описанной окружности \(R\). Начнем с нахождения \(a\), используя обратную формулу \(a = r \cdot 2\sqrt{3}\). Подставляем значение: \(a = 2 \cdot 2\sqrt{3}\). Умножаем 2 на 2, получаем 4, итого \(a = 4\sqrt{3}\). Теперь найдем радиус описанной окружности \(R\) по формуле \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\). Подставляем \(a = 4\sqrt{3}\): \(R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\). Сокращаем \(\sqrt{3}\) в числителе и знаменателе, получаем \(R = 4\). Альтернативно, поскольку \(R = 2r\), подставляем \(r = 2\): \(R = 2 \cdot 2 = 4\), что совпадает с нашим результатом. Таким образом, для третьей строки мы нашли \(a = 4\sqrt{3}\) и \(R = 4\). Запишем значения: \(a = 4\sqrt{3}\), \(R = 4\), \(r = 2\). Все значения логичны и соответствуют соотношениям правильного треугольника.

Давайте еще раз проверим все строки, чтобы убедиться в правильности вычислений. Для первой строки: \(a = 6\sqrt{3}\), \(R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\), \(r = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3\), и \(R = 2r = 2 \cdot 3 = 6\), все сходится. Для второй строки: \(R = 4\sqrt{3}\), \(a = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12\), \(r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\), и \(R = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\), все верно. Для третьей строки: \(r = 2\), \(a = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\), \(R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\), и \(R = 2r = 2 \cdot 2 = 4\), все совпадает. Таким образом, мы уверены, что наши расчеты точны.

Теперь, чтобы сделать объяснение еще более полным, давайте рассмотрим, как эти формулы работают в общем виде. Если у нас есть правильный треугольник со стороной \(a\), то высота треугольника равна \(\frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}\), как мы уже упоминали. Радиус описанной окружности \(R\) проходит через вершины, и в правильном треугольнике он равен \(\frac{2}{3}\) высоты, но давайте уточним: на самом деле, центр окружности делит высоту в соотношении 2:1, где \(R\) — это расстояние от центра до вершины, а \(r\) — от центра до середины стороны. Но мы уже вывели формулы, и они работают, так что не будем углубляться в дополнительные вычисления. Важно понимать, что все эти значения связаны между собой, и если мы знаем одно из них, мы можем найти остальные. Например, если бы нам дали только высоту треугольника, мы могли бы найти сторону \(a\), а затем все остальное. Высота \(h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}\), значит, \(a = \frac{2h}{\sqrt{3}}\), и далее по тем же формулам.

Давайте также подумаем, почему эти соотношения важны. В правильном треугольнике радиус описанной окружности всегда в два раза больше радиуса вписанной окружности, что является уникальным свойством. Это можно увидеть из формул: \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\), \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), значит, \(R = 2 \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} = 2r\). Это соотношение помогает быстро проверять свои вычисления, как мы делали ранее. Если \(R \neq 2r\), значит, где-то допущена ошибка. Это полезный контрольный механизм. Также это свойство можно использовать для решения задач, где даны оба радиуса, чтобы проверить, является ли треугольник правильным.

Теперь, чтобы еще больше углубиться в детали, давайте рассмотрим, как бы мы решали эту задачу, если бы не знали формул. Предположим, мы помним только, что высота правильного треугольника равна \(\frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}\), и знаем, что радиус описанной окружности проходит через вершины. Мы могли бы нарисовать треугольник, провести высоту, разделить его на два прямоугольных треугольника и использовать теорему Пифагора. Но поскольку центр описанной окружности находится на высоте на расстоянии \(\frac{2}{3}\) от вершины, это усложняет расчеты. Лучше запомнить готовые формулы, как мы сделали, чтобы экономить время. Однако понимание геометрии помогает в более сложных задачах, где правильный треугольник является частью другой фигуры.

Итак, мы полностью разобрали задачу, применили формулы к каждой строке таблицы, проверили результаты через альтернативные соотношения и убедились, что все значения соответствуют ожидаемым. Теперь запишем итоговую таблицу с результатами наших вычислений. Все значения были найдены с учетом свойств правильного треугольника и строгого применения формул \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\), \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), \(a = R \cdot \sqrt{3}\), \(a = r \cdot 2\sqrt{3}\). Мы также использовали контрольное соотношение \(R = 2r\), чтобы убедиться в правильности расчетов. Вот итоговая таблица с результатами:

Мы надеемся, что это подробное объяснение помогло полностью понять, как решать задачи на правильный треугольник, как выводятся формулы и как их применять к конкретным значениям. Если есть дополнительные вопросы или нужно рассмотреть другие случаи, мы готовы продолжить разбор.