1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Углубленный уровень Учебник 📕 Мерзляк, Поляков — Все Части
Геометрия
9 класс углубленный уровень учебник Мерзляк
9 класс
Тип
Гдз, Решебник.
Авторы
Мерзляк А.Г., Поляков В.М.
Год
2019-2022
Издательство
Вентана-граф
Описание

ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задача

Радиус круга равен 6 см. Найдите площадь сектора, если градусная мера его дуги равна: 1) 15°; 2) 144°; 3) 280°.

Краткий ответ:

Площадь сектора круга рассчитывается по формуле \( S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 \), где радиус \( r = 6 \, \text{см} \). Для угла \( \alpha = 15° \) получаем \( S_1 = \frac{15}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{3\pi}{2} \, \text{см}^2 \). Для \( \alpha = 144° \) получаем \( S_2 = \frac{144}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{72\pi}{5} \, \text{см}^2 \). Для \( \alpha = 280° \) получаем \( S_3 = \frac{280}{360} \cdot \pi \cdot 6^2 = 28\pi \, \text{см}^2 \).

Подробный ответ:

Для нахождения площади сектора круга используется формула \( S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot r^2 \), где \( S \) — площадь сектора, \( \alpha \) — градусная мера угла сектора, а \( r \) — радиус круга. В данном случае радиус круга равен \( r = 6 \, \text{см} \). Мы рассмотрим пошагово расчет площади сектора для трех разных углов: \( \alpha = 15^\circ \), \( \alpha = 144^\circ \) и \( \alpha = 280^\circ \). Каждый шаг будет подробно разобран с объяснением всех математических операций, чтобы процесс был максимально понятен.

Сначала разберем общий подход к решению задачи. Формула \( S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot r^2 \) позволяет вычислить площадь сектора, который является частью круга. Здесь \( \alpha \) показывает, какую долю полного круга (360 градусов) составляет сектор. Умножая эту долю на полную площадь круга \( \pi \cdot r^2 \), мы получаем площадь сектора. Радиус \( r = 6 \, \text{см} \) уже дан, поэтому мы можем подставить его в формулу и вычислить \( r^2 \). Давайте сделаем это: \( r^2 = 6^2 = 36 \, \text{см}^2 \). Теперь формула принимает вид \( S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot 36 \). Мы будем использовать это выражение для каждого из трех углов, шаг за шагом вычисляя площадь сектора, упрощая дроби и приводя результат к наиболее компактному виду.

1) Рассмотрим первый случай, когда угол сектора \( \alpha = 15^\circ \). Подставим это значение в формулу для площади сектора: \( S_1 = \frac{15}{360} \cdot \pi \cdot 36 \). Сначала разберем дробь \( \frac{15}{360} \). Мы можем сократить числитель и знаменатель на 15, так как 15 делится на 15, а 360 делится на 15, что дает \( \frac{15 \div 15}{360 \div 15} = \frac{1}{24} \). Таким образом, выражение принимает вид \( S_1 = \frac{1}{24} \cdot \pi \cdot 36 \). Теперь умножим \( \frac{1}{24} \) на 36: \( \frac{1}{24} \cdot 36 = \frac{36}{24} \). Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 12: \( \frac{36 \div 12}{24 \div 12} = \frac{3}{2} \). Следовательно, \( S_1 = \frac{3}{2} \cdot \pi \). Это означает, что площадь сектора равна \( \frac{3}{2} \pi \, \text{см}^2 \). Давайте проверим промежуточные вычисления: \( \frac{15}{360} = \frac{1}{24} \), затем \( \frac{1}{24} \cdot 36 = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} \), и умножение на \( \pi \) дает \( \frac{3}{2} \pi \). Все верно. Мы также можем записать это как \( S_1 = \frac{15 \cdot 36}{360} \cdot \pi = \frac{540}{360} \cdot \pi = \frac{3}{2} \cdot \pi \), что подтверждает наш результат. Таким образом, площадь сектора для угла 15 градусов составляет \( \frac{3}{2} \pi \, \text{см}^2 \).

2) Перейдем ко второму случаю, где угол сектора \( \alpha = 144^\circ \). Подставим это значение в формулу: \( S_2 = \frac{144}{360} \cdot \pi \cdot 36 \). Начнем с упрощения дроби \( \frac{144}{360} \). Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Число 144 делится на 72, 48, 36, 24, 18, 16, 12, 9, 8, 6, 4, 3, 2, 1, а число 360 делится на те же числа, включая 72. Сократим на 72: \( \frac{144 \div 72}{360 \div 72} = \frac{2}{5} \). Таким образом, выражение становится \( S_2 = \frac{2}{5} \cdot \pi \cdot 36 \). Теперь умножим \( \frac{2}{5} \) на 36: \( \frac{2}{5} \cdot 36 = \frac{2 \cdot 36}{5} = \frac{72}{5} \). Это дробь, которая не требует дальнейшего упрощения, так как 72 и 5 не имеют общих делителей, кроме 1. Следовательно, \( S_2 = \frac{72}{5} \pi \, \text{см}^2 \). Проверим расчеты: \( \frac{144}{360} = \frac{2}{5} \), затем \( \frac{2}{5} \cdot 36 = \frac{72}{5} \), и умножение на \( \pi \) дает \( \frac{72}{5} \pi \). Можно также вычислить напрямую: \( \frac{144 \cdot 36}{360} = \frac{5184}{360} \), и сократим на 72: \( \frac{5184 \div 72}{360 \div 72} = \frac{72}{5} \), что совпадает с нашим результатом. Таким образом, площадь сектора для угла 144 градуса равна \( \frac{72}{5} \pi \, \text{см}^2 \). Мы можем дополнительно убедиться в правильности, вычислив численное значение: \( \frac{72}{5} = 14.4 \), и умножение на \( \pi \approx 3.1416 \) дает примерно 45.24, но поскольку ответ требуется в символической форме, оставляем \( \frac{72}{5} \pi \, \text{см}^2 \).

3) Наконец, рассмотрим третий случай с углом сектора \( \alpha = 280^\circ \). Подставим значение в формулу: \( S_3 = \frac{280}{360} \cdot \pi \cdot 36 \). Упростим дробь \( \frac{280}{360} \). Найдем общий делитель числителя и знаменателя. Число 280 делится на 40, а 360 тоже делится на 40. Сократим на 40: \( \frac{280 \div 40}{360 \div 40} = \frac{7}{9} \). Таким образом, выражение принимает вид \( S_3 = \frac{7}{9} \cdot \pi \cdot 36 \). Теперь умножим \( \frac{7}{9} \) на 36: \( \frac{7}{9} \cdot 36 = \frac{7 \cdot 36}{9} = \frac{252}{9} \). Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 9: \( \frac{252 \div 9}{9 \div 9} = \frac{28}{1} = 28 \). Следовательно, \( S_3 = 28 \pi \, \text{см}^2 \). Проверим промежуточные шаги: \( \frac{280}{360} = \frac{7}{9} \), затем \( \frac{7}{9} \cdot 36 = \frac{252}{9} = 28 \), и умножение на \( \pi \) дает \( 28 \pi \). Можно также вычислить напрямую: \( \frac{280 \cdot 36}{360} = \frac{10080}{360} \), и сократим на 360: \( \frac{10080 \div 360}{360 \div 360} = \frac{28}{1} = 28 \), что подтверждает результат. Таким образом, площадь сектора для угла 280 градусов составляет \( 28 \pi \, \text{см}^2 \). Это значение уже является целым числом, умноженным на \( \pi \), и не требует дальнейшего упрощения.

Теперь подведем итоги всех трех случаев, чтобы убедиться, что мы получили точные результаты, соответствующие заданным условиям. Для первого сектора с углом \( 15^\circ \) площадь равна \( \frac{3}{2} \pi \, \text{см}^2 \), что можно интерпретировать как 1.5 \( \pi \), но в дробной форме это выглядит более аккуратно. Для второго сектора с углом \( 144^\circ \) площадь составляет \( \frac{72}{5} \pi \, \text{см}^2 \), что эквивалентно 14.4 \( \pi \), но опять же, дробная форма предпочтительна для точности. Для третьего сектора с углом \( 280^\circ \) площадь равна \( 28 \pi \, \text{см}^2 \), что является простым и понятным выражением. Все вычисления были выполнены с учетом правил упрощения дробей и сохранения \( \pi \) как символа, без перевода в числовые приближения, что соответствует условиям задачи.

Давайте еще раз пройдемся по каждому случаю, чтобы убедиться в отсутствии ошибок. Для \( \alpha = 15^\circ \): \( \frac{15}{360} = \frac{1}{24} \), затем \( \frac{1}{24} \cdot 36 = \frac{36}{24} = \frac{3}{2} \), и \( S_1 = \frac{3}{2} \pi \, \text{см}^2 \). Для \( \alpha = 144^\circ \): \( \frac{144}{360} = \frac{2}{5} \), затем \( \frac{2}{5} \cdot 36 = \frac{72}{5} \), и \( S_2 = \frac{72}{5} \pi \, \text{см}^2 \). Для \( \alpha = 280^\circ \): \( \frac{280}{360} = \frac{7}{9} \), затем \( \frac{7}{9} \cdot 36 = 28 \), и \( S_3 = 28 \pi \, \text{см}^2 \). Все шаги логичны и последовательны, а результаты совпадают с заданными в примере.

Мы также можем рассмотреть, почему формула работает именно так. Полная площадь круга равна \( \pi \cdot r^2 \), и поскольку полный круг составляет 360 градусов, то сектор с углом \( \alpha \) градусов занимает долю \( \frac{\alpha}{360} \) от полной площади. Это интуитивно понятно: например, сектор с углом 180 градусов должен занимать половину круга, и действительно, \( \frac{180}{360} = \frac{1}{2} \), что подтверждает правильность формулы. В нашем случае радиус 6 см дает полную площадь круга \( \pi \cdot 6^2 = 36 \pi \, \text{см}^2 \), и для каждого угла мы берем соответствующую долю от этой площади.

Для угла 15 градусов: доля \( \frac{15}{360} = \frac{1}{24} \), и \( \frac{1}{24} \cdot 36 \pi = \frac{36}{24} \pi = \frac{3}{2} \pi \), что совпадает. Для 144 градусов: доля \( \frac{144}{360} = \frac{2}{5} \), и \( \frac{2}{5} \cdot 36 \pi = \frac{72}{5} \pi \), снова совпадение. Для 280 градусов: доля \( \frac{280}{360} = \frac{7}{9} \), и \( \frac{7}{9} \cdot 36 \pi = 28 \pi \), что также верно. Эти дополнительные проверки подтверждают точность наших вычислений.

Ответ:

1. \( \frac{3}{2} \pi \, \text{см}^2 \)

2. \( \frac{72}{5} \pi \, \text{см}^2 \)

3. \( 28 \pi \, \text{см}^2 \)



Общая оценка
3.6 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы