ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Площадь сектора равна \(6\pi\) дм2. Найдите градусную меру дуги этого сектора, если радиус круга равен 12 дм.

Дано: \( S = 6\pi \, \text{дм}^2 \), \( r = 12 \, \text{дм} \). Формула площади сектора: \( S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 \).

Подставим: \( 6\pi = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot (12)^2 \).

Вычислим \( (12)^2 = 144 \), тогда: \( 6\pi = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot 144 \).

Сократим \( \pi \): \( 6 = \frac{\alpha}{360} \cdot 144 \).

Умножим на 360: \( 6 \cdot 360 = \alpha \cdot 144 \), то есть \( 2160 = \alpha \cdot 144 \).

Разделим на 144: \( \alpha = \frac{2160}{144} = 15 \).

Ответ: \( \alpha = 15^\circ \).

Дано: площадь сектора круга \( S = 6\pi \, \text{дм}^2 \), радиус круга \( r = 12 \, \text{дм} \). Нам нужно найти градусную меру угла сектора \( \alpha \), используя формулу площади сектора круга. Формула выглядит так: \( S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 \), где \( S \) — это площадь сектора, \( \alpha \) — градусная мера угла сектора в градусах, \( r \) — радиус круга, а \( \pi \) — математическая константа, примерно равная 3.14, которая используется в расчетах, связанных с кругами.

Начнем с того, что подставим известные значения в формулу. У нас есть \( S = 6\pi \), а радиус \( r = 12 \). Подставим эти значения в формулу: \( 6\pi = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot (12)^2 \). Здесь важно правильно вычислить все части уравнения. Сначала обратим внимание на выражение \( (12)^2 \), которое означает возведение числа 12 в квадрат. Возведение в квадрат — это умножение числа на само себя, то есть \( 12 \cdot 12 \). Вычислим это: \( 12 \cdot 12 = 144 \). Таким образом, \( (12)^2 = 144 \).

Теперь перепишем уравнение с учетом этого значения: \( 6\pi = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot 144 \). Мы видим, что в уравнении с обеих сторон есть множитель \( \pi \). Чтобы упростить уравнение, можно сократить \( \pi \) на обеих сторонах, так как \( \pi \) не равно нулю, и это допустимая операция. После сокращения \( \pi \) уравнение принимает вид: \( 6 = \frac{\alpha}{360} \cdot 144 \). Теперь у нас есть более простое уравнение, в котором нужно найти \( \alpha \).

Следующий шаг — избавиться от дроби в правой части уравнения. Для этого умножим обе стороны уравнения на 360, чтобы убрать знаменатель. Умножение на 360 левой части дает: \( 6 \cdot 360 \). Вычислим это значение пошагово. Сначала умножим 6 на 300, что равно 1800, затем 6 на 60, что равно 360, и сложим результаты: \( 1800 + 360 = 2160 \). Таким образом, левая часть уравнения становится равной 2160. Правая часть уравнения после умножения на 360 будет: \( \frac{\alpha}{360} \cdot 144 \cdot 360 \). Здесь \( 360 \) в числителе и знаменателе сокращаются, и остается \( \alpha \cdot 144 \). Итак, уравнение теперь выглядит так: \( 2160 = \alpha \cdot 144 \).

Теперь нам нужно найти значение \( \alpha \). Для этого разделим обе стороны уравнения на 144, чтобы изолировать \( \alpha \). Деление левой части: \( \frac{2160}{144} \). Выполним это деление пошагово. Сначала определим, сколько раз 144 содержится в 2160. Мы знаем, что 144 умножить на 10 равно 1440, что меньше 2160. Вычтем 1440 из 2160: \( 2160 — 1440 = 720 \). Теперь определим, сколько раз 144 содержится в 720. Мы видим, что 144 умножить на 5 равно 720, так как \( 144 \cdot 5 = 720 \). Таким образом, общее количество раз, когда 144 содержится в 2160, равно \( 10 + 5 = 15 \). Значит, \( \frac{2160}{144} = 15 \). Правая часть уравнения после деления на 144 становится просто \( \alpha \), так как \( \frac{\alpha \cdot 144}{144} = \alpha \).

Итак, мы получили \( \alpha = 15 \). Это означает, что градусная мера угла сектора равна 15 градусов. Давайте проверим правильность нашего решения, чтобы убедиться, что мы не допустили ошибок. Подставим \( \alpha = 15 \) обратно в исходную формулу и вычислим площадь сектора. Формула: \( S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 \). Подставим значения: \( \alpha = 15 \), \( r = 12 \). Сначала вычислим \( r^2 \): \( 12^2 = 144 \). Теперь вычислим \( \frac{15}{360} \). Это равно \( \frac{15 \div 15}{360 \div 15} = \frac{1}{24} \). Таким образом, \( S = \frac{1}{24} \cdot \pi \cdot 144 \). Вычислим \( \frac{144}{24} = 6 \), значит \( S = 6\pi \), что совпадает с заданной площадью сектора \( 6\pi \, \text{дм}^2 \). Это подтверждает, что наше решение верно.

Разберем еще раз каждый шаг, чтобы убедиться в понимании. Мы начали с формулы \( S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 \), которая связывает площадь сектора с углом и радиусом. Затем подставили известные значения \( S = 6\pi \) и \( r = 12 \), получив уравнение \( 6\pi = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot 144 \). Далее сократили \( \pi \) с обеих сторон, чтобы упростить: \( 6 = \frac{\alpha}{360} \cdot 144 \). После этого умножили обе стороны на 360, чтобы убрать дробь, и получили \( 2160 = \alpha \cdot 144 \). Наконец, разделили обе стороны на 144 и нашли \( \alpha = 15 \). Каждый шаг был выполнен с учетом правил алгебры, и мы проверили результат, подставив значение обратно в формулу.

Также стоит отметить, что формула \( S = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 \) основана на том, что полный круг имеет угол 360 градусов, и площадь сектора пропорциональна углу сектора. Если бы угол был 360 градусов, то площадь сектора равнялась бы полной площади круга \( \pi r^2 \). В нашем случае угол составляет лишь часть полного круга, поэтому мы умножаем полную площадь на долю \( \frac{\alpha}{360} \). Это логическое обоснование помогает понять, почему формула работает именно так.

Мы также можем рассмотреть альтернативный подход к решению задачи. Например, можно выразить \( \alpha \) из формулы сразу: \( \alpha = \frac{S \cdot 360}{\pi r^2} \). Подставим значения: \( S = 6\pi \), \( r = 12 \), значит \( r^2 = 144 \). Тогда \( \alpha = \frac{6\pi \cdot 360}{\pi \cdot 144} \). Сократим \( \pi \): \( \alpha = \frac{6 \cdot 360}{144} \). Вычислим числитель: \( 6 \cdot 360 = 2160 \), а затем поделим: \( \frac{2160}{144} = 15 \). Мы снова получили \( \alpha = 15 \), что подтверждает правильность первого метода.

Для более глубокого понимания можно рассмотреть, что означает результат \( \alpha = 15^\circ \). Это означает, что сектор составляет \( \frac{15}{360} = \frac{1}{24} \) часть полного круга. Если представить круг как торт, разрезанный на 24 равные части, то наш сектор — это одна такая часть. Это визуальное представление может помочь лучше понять пропорцию.

Кроме того, важно обратить внимание на единицы измерения. Площадь дана в квадратных дециметрах (\( \text{дм}^2 \)), а радиус — в дециметрах (\( \text{дм} \)). При возведении радиуса в квадрат единицы становятся \( \text{дм}^2 \), что согласуется с единицами площади, так что все вычисления корректны с точки зрения размерности. Угол \( \alpha \) измеряется в градусах, что также соответствует формуле.

В заключение, мы подробно разобрали задачу, шаг за шагом решив уравнение и проверив результат. Ответ остается неизменным: градусная мера угла сектора равна \( \alpha = 15^\circ \). Этот результат был получен путем последовательного применения алгебраических операций и подтвержден проверкой.