ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.13 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1Площадь сектора равна \( \frac{5\pi}{4} \) см\(^2\), а градусная мера дуги этого сектора составляет 75°. Найдите радиус круга, частью которого является данный сектор.

Площадь сектора круга вычисляется по формуле \( S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \). Подставляя известные значения \( S = \frac{5\pi}{4} \) см² и \( \theta = 75^\circ \), получаем \( \frac{5\pi}{4} = \frac{75}{360} \cdot \pi r^2 \). Упростив дробь, получаем \( \frac{5}{4} = \frac{5}{24} r^2 \). Умножив обе стороны на 24, получаем \( 30 = 5 r^2 \), откуда \( r^2 = 6 \) и, следовательно, \( r = \sqrt{6} \).

Площадь сектора круга можно вычислить с помощью формулы:

\( S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2 \)

где \( S \) — площадь сектора, \( \theta \) — угол сектора в градусах, а \( r \) — радиус круга.

В данной задаче известна площадь сектора \( S = \frac{5\pi}{4} \) см² и угол сектора \( \theta = 75^\circ \).

Для начала подставим известные значения в формулу:

\( \frac{5\pi}{4} = \frac{75}{360} \cdot \pi r^2 \)

Сначала упростим дробь \( \frac{75}{360} \):

\( \frac{75}{360} = \frac{75 \div 15}{360 \div 15} = \frac{5}{24} \)

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

\( \frac{5\pi}{4} = \frac{5}{24} \cdot \pi r^2 \)

Чтобы избавиться от \( \pi \), можно разделить обе стороны уравнения на \( \pi \):

\( \frac{5}{4} = \frac{5}{24} r^2 \)

Теперь умножим обе стороны на \( 24 \):

\( 24 \cdot \frac{5}{4} = 5 r^2 \)

Упрощаем левую часть:

\( 24 \cdot \frac{5}{4} = 6 \cdot 5 = 30 \)

Таким образом, у нас получается:

\( 30 = 5 r^2 \)

Теперь разделим обе стороны на 5:

\( r^2 = \frac{30}{5} = 6 \)

Теперь, чтобы найти радиус \( r \), необходимо извлечь квадратный корень из обеих сторон:

\( r = \sqrt{6} \)

Таким образом, радиус круга равен \( \sqrt{6} \) см.