ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.14 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 5 см, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) 45°; 2) 150°; 3) 330°.
Площадь кругового сегмента вычисляется по формуле \( S = \frac{R^2}{2} \left( \theta — \sin(\theta) \right) \). Для угла \( 45^\circ \) (или \( \frac{\pi}{4} \) радиан) получаем \( S = \frac{25(\pi — 2\sqrt{2})}{8} \) см\(^2\). Для угла \( 150^\circ \) (или \( \frac{5\pi}{6} \) радиан) площадь равна \( S = \frac{25(5\pi — 3)}{12} \) см\(^2\). Для угла \( 330^\circ \) (или \( \frac{11\pi}{6} \) радиан) площадь составит \( S = \frac{25(11\pi + 3)}{12} \) см\(^2\).
Для нахождения площади кругового сегмента используется формула:
\( S = \frac{R^2}{2} \left( \theta — \sin(\theta) \right) \)
где \( R \) — радиус круга, а \( \theta \) — угол в радианах. Чтобы перевести угол из градусов в радианы, используется формула:
\( \theta = \frac{\alpha \cdot \pi}{180} \)
Теперь вычислим площади сегментов для каждого из заданных углов.
1) Угол \( 45^\circ \):
Сначала переводим градусы в радианы:
\( \theta = \frac{45 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{4} \)
Теперь подставляем в формулу:
\( S = \frac{5^2}{2} \left( \frac{\pi}{4} — \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \)
Зная, что \( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), получаем:
\( S = \frac{25}{2} \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)
Упрощаем:
\( S = \frac{25}{2} \cdot \frac{\pi — 2\sqrt{2}}{4} = \frac{25(\pi — 2\sqrt{2})}{8} \) см\(^2\)
2) Угол \( 150^\circ \):
Переводим в радианы:
\( \theta = \frac{150 \cdot \pi}{180} = \frac{5\pi}{6} \)
Подставляем в формулу:
\( S = \frac{5^2}{2} \left( \frac{5\pi}{6} — \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right) \)
Зная, что \( \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \), получаем:
\( S = \frac{25}{2} \left( \frac{5\pi}{6} — \frac{1}{2} \right) \)
Упрощаем:
\( S = \frac{25}{2} \cdot \left( \frac{5\pi — 3}{6} \right) = \frac{25(5\pi — 3)}{12} \) см\(^2\)
3) Угол \( 330^\circ \):
Переводим в радианы:
\( \theta = \frac{330 \cdot \pi}{180} = \frac{11\pi}{6} \)
Подставляем в формулу:
\( S = \frac{5^2}{2} \left( \frac{11\pi}{6} — \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) \right) \)
Зная, что \( \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \), получаем:
\( S = \frac{25}{2} \left( \frac{11\pi}{6} + \frac{1}{2} \right) \)
Упрощаем:
\( S = \frac{25}{2} \cdot \left( \frac{11\pi + 3}{6} \right) = \frac{25(11\pi + 3)}{12} \) см\(^2\)
Ответы:
1) \( \frac{25(\pi — 2\sqrt{2})}{8} \) см\(^2\)
2) \( \frac{25(5\pi — 3)}{12} \) см\(^2\)
3) \( \frac{25(11\pi + 3)}{12} \) см\(^2\)