ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 2 см, а градусная мера дуги сегмента равна: 1) 60°; 2) 300°.

Площадь кругового сегмента с радиусом \( r = 2 \) см и углом \( 60^\circ \) (или \( \frac{\pi}{3} \) радиан) вычисляется по формуле \( S = \frac{r^2}{2} \left( \theta — \sin(\theta) \right) \). Подставляя значения, получаем \( S_1 = \frac{2^2}{2} \left( \frac{\pi}{3} — \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{2\pi — 3\sqrt{3}}{3} \) см\(^2\). Для угла \( 300^\circ \) (или \( \frac{5\pi}{3} \) радиан) аналогично находим \( S_2 = \frac{2^2}{2} \left( \frac{5\pi}{3} — \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) = \frac{10\pi + 3\sqrt{3}}{3} \) см\(^2\). Таким образом, площади сегментов равны: \( S_1 = \frac{2\pi — 3\sqrt{3}}{3} \) см\(^2\) и \( S_2 = \frac{10\pi + 3\sqrt{3}}{3} \) см\(^2\).

Для нахождения площади кругового сегмента с радиусом \( r = 2 \) см и углом \( \theta \) в градусах, мы сначала преобразуем угол в радианы, так как формула для площади сегмента использует радианы. Для угла \( 60^\circ \) преобразование выглядит следующим образом:

\(\theta_1 = \frac{60 \cdot \pi}{180} = \frac{\pi}{3}\).

Теперь мы можем использовать формулу для площади сегмента:

\( S = \frac{r^2}{2} \left( \theta — \sin(\theta) \right) \).

Подставляя значения для первого случая:

\( S_1 = \frac{2^2}{2} \left( \frac{\pi}{3} — \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) \).

Вычисляем \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\( S_1 = 2 \left( \frac{\pi}{3} — \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \).

Упрощаем:

\( S_1 = \frac{2\pi}{3} — \sqrt{3} \).

Теперь приводим к общему знаменателю:

\( S_1 = \frac{2\pi}{3} — \frac{3\sqrt{3}}{3} = \frac{2\pi — 3\sqrt{3}}{3} \) см\(^2\).

Теперь переходим ко второму углу \( 300^\circ \). Сначала преобразуем угол в радианы:

\(\theta_2 = \frac{300 \cdot \pi}{180} = \frac{5\pi}{3}\).

Используем ту же формулу для площади сегмента:

\( S_2 = \frac{2^2}{2} \left( \frac{5\pi}{3} — \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) \right) \).

Здесь \( \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \):

\( S_2 = 2 \left( \frac{5\pi}{3} — \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) \).

Упрощаем:

\( S_2 = 2 \left( \frac{5\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \).

Теперь нужно привести к общему знаменателю:

\( S_2 = 2 \left( \frac{5\pi}{3} + \frac{3\sqrt{3}}{6} \right) = \frac{10\pi}{3} + \sqrt{3} \).

Таким образом:

\( S_2 = \frac{10\pi + 3\sqrt{3}}{3} \) см\(^2\).

1) \( \frac{2\pi — 3\sqrt{3}}{3} \) см\(^2\); 2) \( \frac{10\pi + 3\sqrt{3}}{3} \) см\(^2\).