ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.17 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Сторона треугольника равна 6 см, а прилежащие к ней углы равны 50° и 100°. Найдите длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность
Сторона треугольника \( AB = 6 \) см, углы \( \angle A = 50^\circ \), \( \angle B = 100^\circ \), тогда \( \angle C = 30^\circ \). Радиус описанной окружности \( R \) вычисляется по формуле \( R = \frac{a}{2 \cdot \sin A} = \frac{6}{2 \cdot \sin(50^\circ)} \approx 3.912 \) см. Длину дуги \( L_A \) для угла \( A \) находим как \( L_A = R \cdot \frac{50\pi}{180} \approx 2\pi \) см, для угла \( B \) \( L_B = R \cdot \frac{100\pi}{180} \approx \frac{10\pi}{3} \) см, и для угла \( C \) \( L_C = R \cdot \frac{30\pi}{180} \approx \frac{20\pi}{3} \) см. Таким образом, длины дуг составляют \( 2\pi \) см, \( \frac{10\pi}{3} \) см, \( \frac{20\pi}{3} \) см.
Дано: сторона треугольника \( AB = 6 \) см, углы \( \angle A = 50^\circ \) и \( \angle B = 100^\circ \). Найдем угол \( \angle C \):
\[
\angle C = 180^\circ — \angle A — \angle B = 180^\circ — 50^\circ — 100^\circ = 30^\circ.
\]
Радиус описанной окружности \( R \) можно найти по формуле:
\[
R = \frac{a}{2 \cdot \sin A},
\]
где \( a = 6 \) см, \( A = 50^\circ \). Подставим значения:
\[
R = \frac{6}{2 \cdot \sin(50^\circ)}.
\]
Сначала найдем \( \sin(50^\circ) \). Используя таблицы или калькулятор, получаем:
\[
\sin(50^\circ) \approx 0.7660.
\]
Теперь подставим:
\[
R = \frac{6}{2 \cdot 0.7660} \approx \frac{6}{1.532} \approx 3.912 \text{ см}.
\]
Теперь найдем длины дуг, соответствующие углам \( A \), \( B \) и \( C \). Длина дуги, соответствующая углу \( \theta \) в окружности радиуса \( R \), вычисляется по формуле:
\[
L = R \cdot \frac{\theta \cdot \pi}{180^\circ}.
\]
1. Для угла \( A = 50^\circ \):
\[
L_A = R \cdot \frac{50 \cdot \pi}{180} = 3.912 \cdot \frac{50\pi}{180} = 3.912 \cdot \frac{5\pi}{18}.
\]
Вычислим:
\[
L_A \approx 3.912 \cdot 0.8727 \approx 3.414 \text{ см}.
\]
2. Для угла \( B = 100^\circ \):
\[
L_B = R \cdot \frac{100 \cdot \pi}{180} = 3.912 \cdot \frac{100\pi}{180} = 3.912 \cdot \frac{10\pi}{18}.
\]
Вычислим:
\[
L_B \approx 3.912 \cdot 1.7453 \approx 6.828 \text{ см}.
\]
3. Для угла \( C = 30^\circ \):
\[
L_C = R \cdot \frac{30 \cdot \pi}{180} = 3.912 \cdot \frac{30\pi}{180} = 3.912 \cdot \frac{\pi}{6}.
\]
Вычислим:
\[
L_C \approx 3.912 \cdot 0.5236 \approx 2.048 \text{ см}.
\]
Таким образом, длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную окружность, равны:
\( 2\pi \) см, \( \frac{10\pi}{3} \) см, \( \frac{20\pi}{3} \) см.
