ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.19 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На катете АС прямоугольного треугольника АВС (\(ZC = 90°\)) как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику, если \(ZA = 24°\), \(АС = 20\) см.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) и катетом \(AC = 20\) см, построена окружность на этом катете как на диаметре. Угол \(ZA\) равен \(24°\). Радиус окружности \(r\) равен \(10\) см (половина диаметра). Длина дуги \(L\), соответствующая углу \(ZAC\), вычисляется по формуле \(L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r\). Подставляя значения, получаем \(L = \frac{24}{360} \cdot 2\pi \cdot 10 = \frac{4\pi}{3}\) см. Учитывая, что нам нужна длина дуги, принадлежащая треугольнику, умножаем на 2: \(L = 2 \cdot \frac{4\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}\) см.

Для решения задачи о нахождении длины дуги окружности, построенной на катете прямоугольного треугольника, необходимо рассмотреть несколько ключевых аспектов.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\). У нас есть катет \(AC\), который равен 20 см, и угол \(ZA\), равный 24°. Окружность построена на катете \(AC\) как на диаметре, что важно для дальнейших расчетов.

Первым шагом является понимание того, что окружность, построенная на диаметре, имеет особое свойство: любой угол, вписанный в эту окружность, будет равен половине угла, соответствующего дуге, на которую он опирается. В нашем случае угол \(ZAC\) равен углу \(ZA\), который составляет 24°.

Теперь давайте найдем радиус окружности. Поскольку \(AC\) является диаметром, радиус \(r\) можно найти следующим образом:

\[
r = \frac{AC}{2} = \frac{20 \, \text{см}}{2} = 10 \, \text{см}
\]

Зная радиус, мы можем перейти к вычислению длины дуги, соответствующей углу \(ZAC\). Длина дуги \(L\) окружности рассчитывается по формуле:

\[
L = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r
\]

где \(\alpha\) — это угол в градусах, а \(r\) — радиус окружности. Подставим известные значения. Угол \(\alpha\) равен 24°, а радиус \(r\) равен 10 см:

\[
L = \frac{24°}{360°} \cdot 2\pi \cdot 10 \, \text{см}
\]

Теперь упростим это выражение. Сначала вычислим дробь \(\frac{24}{360}\):

\[
\frac{24}{360} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}
\]

Теперь подставим это значение в формулу для длины дуги:

\[
L = \frac{1}{15} \cdot 2\pi \cdot 10 \, \text{см}
\]

Умножим:

\[
L = \frac{20\pi}{15} \, \text{см}
\]

Упростим дробь:

\[
L = \frac{4\pi}{3} \, \text{см}
\]

Однако, поскольку нам нужна длина дуги, принадлежащая треугольнику, необходимо учесть, что мы рассматриваем полный угол, который соответствует этой дуге. Длина дуги, соответствующая углу \(ZAC\), должна быть умножена на 2, так как угол \(ZAC\) является частью полного угла, формируемого окружностью.

Таким образом, окончательная длина дуги будет равна:

\[
L = 2 \cdot \frac{4\pi}{3} \, \text{см} = \frac{8\pi}{3} \, \text{см}
\]

Таким образом, длина дуги окружности, принадлежащей треугольнику, составляет \( \frac{8\pi}{3} \, \text{см} \).