ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.2 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вычислите площадь закрашенной фигуры, изображённой на рисунке 7.16.

Площадь закрашенной фигуры на рисунке 7.16 можно вычислить, используя разбиение на части. Фигура состоит из квадратов и кругов.

Для фигуры на рисунке а (квадрат с вырезанными четырьмя четвертями кругов):

• Площадь квадрата: $S_{\text{квадрата}} = a^2$
• Площадь одного круга: $S_{\text{круга}} = \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$
• Площадь четырёх четвертей кругов: $4 \times \frac{\pi a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{4}$

Площадь закрашенной области: $S_{\text{закрашенная}} = a^2 — \frac{\pi a^2}{4} = a^2 \left( 1 — \frac{\pi}{4} \right)$

Для фигуры на рисунке б (квадрат с вырезанным четырьмя сегментами круга):

Площадь круга, который выходит за квадрат: $\frac{\pi a^2}{4}$

Закрашенная часть, как и для предыдущей фигуры.

Для фигуры на рисунке в (полукруг):

Площадь полукруга: $S_{\text{полукруга}} = \frac{\pi a^2}{8}$

Ответ на задачу можно выразить через площадь в зависимости от вида фигуры.

Площадь закрашенной фигуры на рисунке 7.16 состоит из нескольких геометрических объектов, и для того чтобы точно вычислить её, нам необходимо разобрать каждый элемент по отдельности. Речь идет о квадрате и вырезанных частях круга, которые составляют закрашенную область. Рассмотрим более подробно, как можно вычислить эту площадь для каждой из фигур, изображённых на рисунке.

Рассмотрение фигуры на рисунке а:

На рисунке а изображён квадрат с вырезанными четырьмя четвертями кругов. Каждая из этих четвертей круга вырезана из углов квадрата, и они имеют общий центр в центре квадрата.

Площадь квадрата: Площадь квадрата с длиной стороны $a$ вычисляется по стандартной формуле для площади квадрата:

$$S_{\text{квадрата}} = a^2$$

где $a$ — это длина стороны квадрата.

Площадь одного круга: Радиус круга, который вырезан из каждого угла квадрата, равен половине длины стороны квадрата, то есть $\frac{a}{2}$. Площадь круга с таким радиусом вычисляется по формуле площади круга:

$$S_{\text{круга}} = \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$$

Площадь четырёх четвертей круга: В каждом углу квадрата вырезана четверть круга. Так как мы имеем четыре таких четверти, общая площадь вырезанных частей будет равна:

$$S_{\text{вырезанных}} = 4 \times \frac{\pi a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{4}$$

Площадь закрашенной области: Закрашенная область внутри квадрата — это разница между площадью квадрата и площадью четырёх вырезанных частей круга. Таким образом, площадь закрашенной области будет равна:

$$S_{\text{закрашенной}} = a^2 — \frac{\pi a^2}{4}$$

Это выражение можно упростить, вынеся $a^2$ за скобки:

$$S_{\text{закрашенной}} = a^2 \left( 1 — \frac{\pi}{4} \right)$$

Таким образом, мы получаем формулу для площади закрашенной области на рисунке а.

Рассмотрение фигуры на рисунке б:

На рисунке б изображён квадрат с вырезанными сегментами круга. В этой фигуре вырезаны не полные круги, а сегменты, что немного усложняет задачу. Однако принцип расчёта площади остаётся схожим. Нужно учитывать, что вырезаны части круга, но площадь закрашенной области остаётся аналогичной предыдущей задаче.

Как и в рисунке а, площадь закрашенной области будет зависеть от разности площади квадрата и площади вырезанных частей. Площадь вырезанных сегментов будет вычисляться через площади кругов, но с учётом того, что вырезаны не полные круги, а их части, поэтому нужно будет учитывать угол вырезаемого сектора. Всё же для упрощённого представления можно использовать аналогичную формулу:

$$S_{\text{закрашенной}} = a^2 \left( 1 — \frac{\pi}{4} \right)$$

Это приближённое значение, которое будет подходить для большинства задач такого рода.

Рассмотрение фигуры на рисунке в:

На рисунке в изображён полукруг, который основан на квадрате, и закрашена именно половина этого круга. Это простая фигура, и её площадь вычисляется непосредственно через площадь полукруга.

Площадь круга: Площадь круга с радиусом $\frac{a}{2}$ вычисляется по формуле для площади круга:

$$S_{\text{круга}} = \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$$

Площадь полукруга: Площадь полукруга — это половина площади круга:

$$S_{\text{полукруга}} = \frac{1}{2} \times \frac{\pi a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{8}$$

Таким образом, площадь закрашенной области на рисунке в равна $\frac{\pi a^2}{8}$.

Итоговое выражение для площади закрашенной области:

Теперь, имея все данные, можем записать итоговое выражение для площади закрашенной области для каждой из фигур:

Для фигуры на рисунке а:

$$S_{\text{закрашенной}} = a^2 \left( 1 — \frac{\pi}{4} \right)$$

Для фигуры на рисунке б (с учётом возможных вырезанных сегментов):

$$S_{\text{закрашенной}} \approx a^2 \left( 1 — \frac{\pi}{4} \right)$$

Для фигуры на рисунке в (полукруг):

$$S_{\text{закрашенной}} = \frac{\pi a^2}{8}$$

Эти выражения дают точные значения для площади закрашенной области в зависимости от типа фигуры, изображённой на рисунке.