ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре (рис. 7.17), равна сумме площадей полукругов, построенных на его катетах как на диаметрах.

Площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре, равна \(\frac{\pi c^2}{4}\), где c — гипотенуза. Площадь полукругов, построенных на катетах a и b как на диаметрах, равна \(\frac{\pi a^2}{4}\) и \(\frac{\pi b^2}{4}\) соответственно. Согласно теореме Пифагора, \(c^2 = a^2 + b^2\), поэтому \(\frac{\pi c^2}{4} = \frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi b^2}{4}\), то есть площадь полукруга на гипотенузе равна сумме площадей полукругов на катетах.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b, и гипотенузой c. Согласно теореме Пифагора, справедливо равенство \(c^2 = a^2 + b^2\).

Площадь полукруга, построенного на гипотенузе c как на диаметре, равна \(\frac{\pi c^2}{4}\). Площадь полукруга, построенного на катете a как на диаметре, равна \(\frac{\pi a^2}{4}\). Площадь полукруга, построенного на катете b как на диаметре, равна \(\frac{\pi b^2}{4}\).

Сложив площади полукругов, построенных на катетах, получим:
\(\frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi b^2}{4} = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4}\)

Согласно теореме Пифагора, \(a^2 + b^2 = c^2\), поэтому:
\(\frac{\pi (a^2 + b^2)}{4} = \frac{\pi c^2}{4}\)

Таким образом, площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре, равна сумме площадей полукругов, построенных на его катетах как на диаметрах.