ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В круг вписан квадрат со стороной а. Найдите площадь меньшего из сегментов, основанием которых является сторона квадрата.

Пусть сторона квадрата равна \( a \). Радиус круга, в который вписан квадрат, равен \( R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \). Угол между радиусами, проведёнными к концам стороны квадрата, составляет \( \frac{\pi}{4} \). Площадь сектора, соответствующего этому углу, равна \( S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} R^2 \theta = \frac{a^2 \pi}{8} \). Площадь треугольника с основанием \( a \) и высотой \( R \) равна \( S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} a R \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{a^2}{4} \). Площадь сегмента вычисляется как разность: \( S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} — S_{\text{треугольника}} = \frac{a^2 \pi}{8} — \frac{a^2}{4} = \frac{a^2 (\pi — 2)}{8} \).

Пусть сторона квадрата равна \( a \). Квадрат вписан в круг, и его диагональ равна диаметру круга. Диагональ квадрата вычисляется по формуле \( d = a\sqrt{2} \). Таким образом, радиус круга \( R \) равен половине диагонали, что можно выразить как \( R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Теперь определим угол \( \theta \), который соответствует стороне квадрата. Угол между радиусами, проведёнными к концам стороны квадрата, составляет \( \frac{\pi}{4} \) радиан. Это связано с тем, что квадрат имеет углы по \( 90^\circ \), и угол между диагоналями делит его пополам.

Площадь сектора, соответствующего этому углу, рассчитывается по формуле площади сектора круга: \( S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} R^2 \theta \). Подставим значение радиуса \( R \) и угла \( \theta \):
\[
S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^2 \cdot \frac{\pi}{4}
\]
Упрощая это выражение, получаем
\[
S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2 \cdot 2}{4} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{a^2 \pi}{8}.
\]

Теперь найдем площадь треугольника, образованного радиусами и основанием, которое является стороной квадрата. Площадь треугольника вычисляется по формуле \( S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \). Подставим радиус \( R \) и значение синуса:
\[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.
\]
Упрощая, получаем
\[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{4}.
\]

Теперь мы можем найти площадь сегмента, вычитая площадь треугольника из площади сектора:
\[
S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} — S_{\text{треугольника}} = \frac{a^2 \pi}{8} — \frac{a^2}{4}.
\]
Чтобы вычесть эти две площади, приведем их к общему знаменателю:
\[
S_{\text{сегмента}} = \frac{a^2 \pi}{8} — \frac{2a^2}{8} = \frac{a^2 (\pi — 2)}{8}.
\]

Таким образом, площадь меньшего из сегментов, основанием которых является сторона квадрата, равна \( \frac{a^2 (\pi — 2)}{8} \).