ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.24 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В круг вписан правильный треугольник со стороной а. Найдите площадь меньшего из сегментов, основанием которых является сторона треугольника.

Чтобы найти площадь меньшего сегмента круга, основанием которого является сторона правильного треугольника со стороной \( a \), сначала вычисляем радиус окружности \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \). Площадь сектора с углом \( 60^\circ \) равна \( S_{\text{сектор}} = \frac{\pi a^2}{18} \), а площадь треугольника \( S_{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \). Площадь сегмента вычисляется как разность: \( S_{\text{сегмент}} = S_{\text{сектор}} — S_{\text{треугольник}} \). Приведя дроби к общему знаменателю, получаем \( S_{\text{сегмент}} = \frac{(2\pi — 9\sqrt{3}) a^2}{36} \), что приводит к окончательному ответу \( S_{\text{сегмент}} = \frac{a^2 (4\pi — 3\sqrt{3})}{36} \).

Для нахождения площади меньшего из сегментов круга, основанием которого является сторона правильного треугольника со стороной \( a \), необходимо рассмотреть несколько важных аспектов, включая свойства правильного треугольника, окружности, в которую он вписан, и формулы для вычисления площадей сектора и треугольника.

Сначала определим радиус окружности \( R \), в которую вписан правильный треугольник. Для правильного треугольника со стороной \( a \) радиус \( R \) можно вычислить по формуле:

\[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
\]

Эта формула объясняет, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен стороне треугольника, делённой на корень из трёх. Это важно, поскольку радиус окружности будет использоваться при вычислении площади сектора.

Теперь мы можем вычислить площадь сектора, который соответствует углу \( 60^\circ \) (или \( \frac{\pi}{3} \) радиан), образованному двумя радиусами и стороной \( a \). Площадь сектора \( S_{\text{сектор}} \) вычисляется по формуле:

\[
S_{\text{сектор}} = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \pi R^2
\]

где \( \theta \) — это угол в радианах. Подставив значения, получим:

\[
S_{\text{сектор}} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2\pi} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{6} \cdot \pi R^2
\]

Теперь подставим радиус \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \):

\[
S_{\text{сектор}} = \frac{1}{6} \cdot \pi \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot \frac{a^2}{3} = \frac{\pi a^2}{18}
\]

Следующий шаг — это вычисление площади правильного треугольника \( S_{\text{треугольник}} \). Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) рассчитывается по формуле:

\[
S_{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]

Теперь у нас есть площади сектора и треугольника, и мы можем найти площадь меньшего сегмента \( S_{\text{сегмент}} \). Площадь сегмента вычисляется как разность между площадью сектора и площадью треугольника:

\[
S_{\text{сегмент}} = S_{\text{сектор}} — S_{\text{треугольник}} = \frac{\pi a^2}{18} — \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]

Чтобы выполнить вычитание, нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( 18 \) и \( 4 \) равен \( 36 \). Перепишем каждую дробь с этим знаменателем:

\[
S_{\text{сектор}} = \frac{\pi a^2}{18} = \frac{2\pi a^2}{36}
\]

\[
S_{\text{треугольник}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{9\sqrt{3} a^2}{36}
\]

Теперь мы можем подставить эти значения в формулу для площади сегмента:

\[
S_{\text{сегмент}} = \frac{2\pi a^2}{36} — \frac{9\sqrt{3} a^2}{36}
\]

После упрощения получаем:

\[
S_{\text{сегмент}} = \frac{(2\pi — 9\sqrt{3}) a^2}{36}
\]

Таким образом, окончательная площадь меньшего сегмента, основанием которого является сторона правильного треугольника, равна:

\[
S_{\text{сегмент}} = \frac{a^2 (4\pi — 3\sqrt{3})}{36}
\]