ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Отрезок АВ разбили на п отрезков. На каждом из них как на диаметре построили полуокружность. Это действие повторили, разбив данный отрезок на т отрезков. Найдите отношение сумм длин полуокружностей, полученных в первом и во втором случаях.

Длина отрезка \( AB \) обозначим как \( L_{AB} \). При делении отрезка на \( p \) равных отрезков длина каждого будет \( l_p = \frac{L_{AB}}{p} \), что дает радиус полуокружности \( r_p = \frac{L_{AB}}{2p} \) и длину полуокружности \( L_{half} = \pi \cdot r_p = \frac{\pi L_{AB}}{2p} \). Сумма длин полуокружностей для \( p \) отрезков: \( S_p = p \cdot \frac{\pi L_{AB}}{2p} = \frac{1}{4} \pi L_{AB} \). Аналогично, при делении на \( t \) отрезков длина каждого \( l_t = \frac{L_{AB}}{t} \) дает радиус \( r_t = \frac{L_{AB}}{2t} \) и длину полуокружности \( L_{half} = \frac{\pi L_{AB}}{2t} \), что приводит к сумме \( S_t = t \cdot \frac{\pi L_{AB}}{2t} = \frac{1}{4} \pi L_{AB} \). Таким образом, \( S_p = S_t \), и отношение сумм длин полуокружностей равно \( 1 : 1 \).

Сначала определим длину отрезка \( AB \) как \( L_{AB} \).

При делении отрезка \( AB \) на \( p \) равных отрезков, длина каждого отрезка будет равна \( l_p = \frac{L_{AB}}{p} \). На каждом из этих отрезков строится полуокружность. Радиус полуокружности, построенной на отрезке длиной \( l_p \), равен \( r_p = \frac{l_p}{2} = \frac{L_{AB}}{2p} \).

Длина полуокружности на каждом отрезке будет равна:

\( L_{half} = \pi r_p = \pi \cdot \frac{L_{AB}}{2p} \).

Поскольку таких отрезков \( p \), сумма длин полуокружностей для первого случая будет:

\( S_p = p \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi L_{AB}}{2p} = \frac{1}{4} \pi L_{AB} \).

Теперь рассмотрим случай, когда отрезок \( AB \) разбивается на \( t \) равных отрезков. В этом случае длина каждого отрезка будет равна \( l_t = \frac{L_{AB}}{t} \). Радиус полуокружности, построенной на отрезке длиной \( l_t \), равен \( r_t = \frac{l_t}{2} = \frac{L_{AB}}{2t} \).

Длина полуокружности на каждом отрезке будет равна:

\( L_{half} = \pi r_t = \pi \cdot \frac{L_{AB}}{2t} \).

Поскольку таких отрезков \( t \), сумма длин полуокружностей для второго случая будет:

\( S_t = t \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi L_{AB}}{2t} = \frac{1}{4} \pi L_{AB} \).

Теперь сравним суммы \( S_p \) и \( S_t \):

\( S_p = \frac{1}{4} \pi L_{AB} \) и \( S_t = \frac{1}{4} \pi L_{AB} \).

Таким образом, отношение сумм длин полуокружностей:

\( \frac{S_p}{S_t} = \frac{\frac{1}{4} \pi L_{AB}}{\frac{1}{4} \pi L_{AB}} = 1 \).

Ответ: 1 : 1.