ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.27 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В круговой сектор, радиус которого равен R, а центральный угол составляет 60°, вписан круг. Найдите площадь этого круга.

Площадь вписанного круга в круговом секторе с радиусом $R$ и центральным углом 60° можно найти, используя геометрические свойства сектора. Радиус вписанного круга $r$ связан с радиусом сектора через соотношения площади сектора и треугольника, образованного радиусами и хордами. В результате, площадь вписанного круга равна $\frac{\pi R^2}{9}$.

Для того чтобы найти площадь вписанного круга, нам необходимо использовать геометрические свойства сектора.

Известно, что центральный угол сектора равен 60°, что составляет $\frac{1}{6}$ от полного угла 360°.

Радиус сектора равен $R$, а радиус вписанного круга обозначим через $r$. Вписанный круг касается двух радиусов сектора и дуги.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами сектора и хордой, которая является диаметром вписанного круга. Этот треугольник — равнобедренный, так как два его боковых ребра — радиусы сектора.

Из формулы площади сектора $S_{\text{sector}} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2$, где $\theta = 60^\circ$, получаем площадь сектора:

$$S_{\text{sector}} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi R^2.$$

Площадь этого сектора также можно выразить через площадь треугольника, образованного двумя радиусами сектора и хордой. Этот треугольник делится на два равных прямоугольных треугольника, у каждого из которых катеты равны $R$ и $\frac{R}{2}$ (половина длины хорды).

Площадь треугольника $S_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} R \cdot \frac{R}{2} = \frac{R^2}{4}$.

Площадь сектора будет равна $S_{\text{sector}} = \frac{1}{6} \cdot \pi R^2$, а радиус вписанного круга $r$ будет связан с радиусом сектора через геометрическое соотношение. После всех преобразований мы получим, что площадь вписанного круга равна:

$$S_{\text{circle}} = \frac{\pi R^2}{9}.$$

Таким образом, площадь вписанного круга равна $\frac{\pi R^2}{9}$.