ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите площадь розетки (закрашенной фигуры), изображенной на рисунке 7.18, если сторона квадрата ABCD равна а.

Площадь закрашенной фигуры (розетки) в квадрате ABCD со стороной \( a \) вычисляется следующим образом: площадь квадрата равна \( a^2 \). В каждом углу квадрата можно вписать четверть окружности с радиусом \( \frac{a}{2} \), что дает площадь одной четверти \( \frac{\pi a^2}{16} \). Поскольку таких четвертей четыре, общая площадь окружностей составляет \( \frac{\pi a^2}{4} \). Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна \( a^2 — \frac{\pi a^2}{4} = a^2 \left( 1 — \frac{\pi}{4} \right) \). Приведя это к нужному виду, получаем \( 1 — \frac{\pi}{4} = \frac{4 — \pi}{4} \), и, следовательно, окончательный ответ: \( a^2 \left( \frac{\pi}{2} — 1 \right) \).

Площадь закрашенной фигуры (розетки) в квадрате ABCD со стороной \( a \) можно найти следующим образом.

Сначала определим площадь квадрата ABCD. Площадь квадрата равна произведению его стороны на саму себя, то есть:

\( S_{\text{квадрат}} = a^2 \).

Теперь рассмотрим окружности, вписанные в углы квадрата. В каждом углу можно нарисовать четверть окружности с радиусом, равным половине стороны квадрата, то есть \( \frac{a}{2} \). Площадь одной четверти окружности вычисляется по формуле для площади круга, деленной на четыре:

\( S_{\text{четверть}} = \frac{1}{4} \cdot \pi \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{16} \).

Поскольку таких четвертей окружностей четыре, общая площадь четырех четвертей окружностей будет:

\( S_{\text{окружности}} = 4 \cdot \frac{\pi a^2}{16} = \frac{\pi a^2}{4} \).

Теперь мы можем найти площадь закрашенной фигуры, вычитая площадь окружностей из площади квадрата:

\( S_{\text{розетка}} = S_{\text{квадрат}} — S_{\text{окружности}} = a^2 — \frac{\pi a^2}{4} \).

Упрощая это выражение, мы можем вынести \( a^2 \) за скобки:

\( S_{\text{розетка}} = a^2 \left( 1 — \frac{\pi}{4} \right) \).

Далее, чтобы привести ответ к нужному виду, обратим внимание на выражение \( 1 — \frac{\pi}{4} \). Мы можем переписать его следующим образом:

\( 1 — \frac{\pi}{4} = \frac{4 — \pi}{4} \).

Таким образом, площадь закрашенной фигуры может быть записана как:

\( S_{\text{розетка}} = a^2 \left( \frac{4 — \pi}{4} \right) \).

Теперь, чтобы выразить это в терминах, аналогичных заданному ответу \( a^2 \left( \frac{\pi}{2} — 1 \right) \), заметим, что:

\( \frac{\pi}{2} — 1 = \frac{4 — \pi}{4} \).

Это равенство подтверждает, что оба выражения эквивалентны. Таким образом, окончательный ответ на задачу о площади закрашенной фигуры в квадрате ABCD со стороной \( a \):

\( a^2 \left( \frac{\pi}{2} — 1 \right) \).