ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны две окружности, радиусы которых равны R и r (R > r). Центр меньшей окружности лежит на большей окружности. Длина дуги меньшей окружности, расположенной внутри большей окружности, равна l. Найдите длину дуги большей окружности, расположенной внутри меньшей окружности.

Даны две окружности: большая с радиусом \( R \) и меньшая с радиусом \( r \) (где \( R > r \)), центр меньшей окружности лежит на большей. Длина дуги меньшей окружности, расположенной внутри большей, равна \( l \). Угол, соответствующий этой дуге, можно выразить как \( \theta = \frac{l}{r} \). Длина дуги на большей окружности, соответствующая углу \( \theta \), равна \( L = R \cdot \theta = R \cdot \frac{l}{r} \). Полная длина окружности большей равна \( 2\pi R \), и длина дуги, находящейся внутри меньшей окружности, определяется как \( L_{\text{внутри}} = 2\pi R — L = 2\pi R — R \cdot \frac{l}{r} \), что упрощается до \( L_{\text{внутри}} = 2\pi R \left( 1 — \frac{l}{\pi r} \right) \).

Для решения задачи о двух окружностях, давайте подробно разберем все шаги и понятия, связанные с длиной дуги окружностей.

Рассмотрим две окружности: большая окружность с радиусом \( R \) и меньшая окружность с радиусом \( r \), где \( R > r \). Центр меньшей окружности находится на окружности большей окружности. Это означает, что расстояние от центра большей окружности до центра меньшей окружности равно \( R \).

Теперь, согласно условиям задачи, длина дуги меньшей окружности, которая расположена внутри большей окружности, равна \( l \). Длина дуги окружности определяется углом, который она поднимает в радианах. Если обозначить угол, соответствующий длине дуги меньшей окружности, как \( \theta \), то длина дуги может быть выражена следующим образом:

\[
l = r \cdot \theta
\]

Из этого уравнения можно выразить угол \( \theta \):

\[
\theta = \frac{l}{r}
\]

Этот угол \( \theta \) указывает, насколько «широкая» дуга меньшей окружности, находящейся внутри большей окружности. Важно понимать, что этот угол также будет использован для вычисления длины дуги на большей окружности.

Теперь давайте найдем длину дуги большей окружности, которая соответствует тому же углу \( \theta \). Длина дуги на окружности определяется формулой:

\[
L = R \cdot \theta
\]

Подставим найденное значение угла \( \theta \):

\[
L = R \cdot \frac{l}{r}
\]

Это значение \( L \) представляет длину дуги на большей окружности, которая соответствует углу, поднимаемому дугой меньшей окружности.

Однако нам нужно найти длину дуги большей окружности, которая расположена внутри меньшей окружности. Полная длина окружности большей окружности равна:

\[
L_{\text{полная}} = 2\pi R
\]

Теперь, чтобы найти длину дуги большей окружности, которая находится внутри меньшей окружности, мы вычтем длину дуги \( L \), соответствующую углу \( \theta \), из полной длины окружности:

\[
L_{\text{внутри}} = L_{\text{полная}} — L
\]

Подставляем значения:

\[
L_{\text{внутри}} = 2\pi R — R \cdot \frac{l}{r}
\]

Теперь упрощаем это выражение. Вынесем \( R \) за скобки:

\[
L_{\text{внутри}} = R \left( 2\pi — \frac{l}{r} \right)
\]

Чтобы привести это уравнение к более удобному виду, можно выразить его через длину дуги меньшей окружности. Учитывая, что длина дуги меньшей окружности \( l = r \cdot \theta \), мы можем выразить \( \frac{l}{\pi r} \):

\[
L_{\text{внутри}} = 2\pi R \left( 1 — \frac{l}{\pi r} \right)
\]

Таким образом, мы пришли к окончательному результату, который показывает, как длина дуги большей окружности, расположенной внутри меньшей окружности, зависит от радиусов окружностей и длины дуги меньшей окружности.

Ответ: длина дуги большей окружности, расположенной внутри меньшей окружности, равна \( 2\pi R \left( 1 — \frac{l}{\pi r} \right) \).