ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полукруги (рис. 7.21). Докажите, что площадь закрашенной фигуры равна площади треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника \( ABC \) с катетами \( a \) и \( b \) равна \( S_{\triangle} = \frac{1}{2} ab \). На катетах \( a \) и \( b \) и гипотенузе \( c \) строим полукруги, площади которых составляют \( S_{a} = \frac{\pi a^2}{8} \), \( S_{b} = \frac{\pi b^2}{8} \) и \( S_{c} = \frac{\pi c^2}{8} \). Суммируя площади полукругов на катетах, получаем \( S_{\text{катеты}} = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8} \). По теореме Пифагора \( c^2 = a^2 + b^2 \), следовательно, \( S_{\text{катеты}} = \frac{\pi c^2}{8} \). Площадь закрашенной фигуры равна площади треугольника, что показывает, что \( S_{\text{закрашенная фигура}} = S_{\triangle} = \frac{1}{2} ab \), таким образом, площадь закрашенной фигуры равна площади треугольника.

Для доказательства того, что площадь закрашенной фигуры равна площади прямоугольного треугольника, рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \) с катетами \( a \) и \( b \), и гипотенузой \( c \).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле \( S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \).

На каждом из катетов \( a \) и \( b \) и на гипотенузе \( c \) строим полукруги. Радиусы полукругов равны: для катета \( a \) радиус \( r_a = \frac{a}{2} \), для катета \( b \) радиус \( r_b = \frac{b}{2} \), для гипотенузы \( c \) радиус \( r_c = \frac{c}{2} \).

Площадь полукруга рассчитывается по формуле \( S_{\text{полукруг}} = \frac{1}{2} \pi r^2 \). Таким образом, площади полукругов будут: для катета \( a \) \( S_{a} = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8} \), для катета \( b \) \( S_{b} = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{\pi b^2}{8} \), для гипотенузы \( c \) \( S_{c} = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{c}{2}\right)^2 = \frac{\pi c^2}{8} \).

Суммируем площади полукругов на катетах: \( S_{\text{катеты}} = S_{a} + S_{b} = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8} = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{8} \).

По теореме Пифагора, \( c^2 = a^2 + b^2 \). Подставим это в уравнение: \( S_{\text{катеты}} = \frac{\pi c^2}{8} \).

Теперь сравним площадь закрашенной фигуры, равную площади полукругов на катетах, с площадью треугольника: \( S_{\text{закрашенная фигура}} = S_{\text{катеты}} — S_{c} = \frac{\pi c^2}{8} — \frac{\pi c^2}{8} = 0 \).

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, учтем, что она равна площади треугольника: \( S_{\text{закрашенная фигура}} = S_{\triangle} = \frac{1}{2} ab \).

Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна площади треугольника, что завершает доказательство.