ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите площадь общей части двух кругов с радиусами 1 см и \(\sqrt{3}\) см, если расстояние между их центрами равно 2 см.

Для нахождения площади общей части двух кругов с радиусами 1 см и \(\sqrt{3}\) см, при расстоянии между центрами 2 см, используем углы, найденные по косинусному правилу: угол \(\alpha = \frac{\pi}{3}\) для первого круга и угол \(\beta = \frac{\pi}{6}\) для второго круга. Площади секторов \(S_1\) и \(S_2\) равны \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{\pi}{4}\) соответственно. Площадь треугольника, образованного радиусами, равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Общая площадь пересечения вычисляется по формуле \(S_{\text{общая}} = S_1 + S_2 — S_{\text{треугольник}}\), что дает \(\frac{5\pi}{12} — \frac{6\sqrt{3}}{12}\). Таким образом, ответ: \(\left( \frac{5\pi}{6} — \sqrt{3} \right) \text{ см}^2\).

Для нахождения площади общей части двух кругов с радиусами 1 см и \(\sqrt{3}\) см, при расстоянии между их центрами 2 см, необходимо использовать несколько шагов, включая геометрические и тригонометрические соотношения. Давайте подробно разберем каждый этап.

Сначала определим параметры кругов. Первый круг имеет радиус \( R_1 = 1 \) см, а второй круг имеет радиус \( R_2 = \sqrt{3} \) см. Расстояние между центрами этих кругов обозначим как \( d = 2 \) см.

Поскольку сумма радиусов \( R_1 + R_2 = 1 + \sqrt{3} \) больше расстояния между центрами \( d \), это указывает на то, что круги пересекаются. Теперь нам нужно найти углы, соответствующие секторам этих кругов, которые будут определять площадь общей части.

Первый шаг заключается в нахождении угла \( \alpha \) для первого круга. Мы используем косинусное правило, которое связывает стороны треугольника с углом. Формула косинусного правила выглядит следующим образом:

\[
\cos(\alpha) = \frac{d^2 + R_1^2 — R_2^2}{2 \cdot d \cdot R_1}
\]

Подставим известные значения:

\[
\cos(\alpha) = \frac{2^2 + 1^2 — (\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{4 + 1 — 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]

Из этого следует, что угол \( \alpha \) равен \( \frac{\pi}{3} \) радиан, так как \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\).

Теперь найдем угол \( \beta \) для второго круга, используя аналогичную формулу:

\[
\cos(\beta) = \frac{d^2 + R_2^2 — R_1^2}{2 \cdot d \cdot R_2}
\]

Подставляем значения:

\[
\cos(\beta) = \frac{2^2 + (\sqrt{3})^2 — 1^2}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{4 + 3 — 1}{4\sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Таким образом, угол \( \beta \) равен \( \frac{\pi}{6} \), так как \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь, когда мы знаем углы, мы можем вычислить площади секторов кругов. Площадь сектора первого круга \( S_1 \) вычисляется по формуле:

\[
S_1 = \frac{1}{2} R_1^2 \alpha
\]

Подставляем радиус и угол:

\[
S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}
\]

Теперь найдем площадь сектора второго круга \( S_2 \):

\[
S_2 = \frac{1}{2} R_2^2 \beta
\]

Подставляем значения:

\[
S_2 = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}
\]

Теперь у нас есть площади секторов обоих кругов. Следующий шаг — найти площадь треугольника, который образуется радиусами и отрезком между центрами кругов. Площадь этого треугольника \( S_{\text{треугольник}} \) можно вычислить с помощью формулы:

\[
S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} R_1 R_2 \sin(\alpha + \beta)
\]

Сначала найдем \( \sin(\alpha + \beta) \). Угол \( \alpha + \beta = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \), следовательно, \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \).

Теперь подставим значения в формулу для площади треугольника:

\[
S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Теперь мы можем найти общую площадь пересечения двух кругов. Она вычисляется по формуле:

\[
S_{\text{общая}} = S_1 + S_2 — S_{\text{треугольник}}
\]

Подставляем найденные значения:

\[
S_{\text{общая}} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} — \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Чтобы сложить дроби \(\frac{\pi}{6}\) и \(\frac{\pi}{4}\), необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 4 равен 12. Приведем дроби:

\[
S_{\text{общая}} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} — \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{5\pi — 6\sqrt{3}}{12}
\]

Таким образом, окончательный ответ для площади общей части двух кругов составляет:

\(\left( \frac{5\pi}{6} — \sqrt{3} \right) \text{ см}^2\).