1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Углубленный уровень Учебник 📕 Мерзляк, Поляков — Все Части
Геометрия
9 класс углубленный уровень учебник Мерзляк
9 класс
Тип
Гдз, Решебник.
Авторы
Мерзляк А.Г., Поляков В.М.
Год
2019-2022
Издательство
Вентана-граф
Описание

ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задача

Три окружности, радиус каждой из которых равен R, попарно касаются. Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 7.22).

Краткий ответ:

Пусть три окружности радиуса \( R \) попарно касаются друг друга, образуя равносторонний треугольник со стороной \( 2R \). Площадь треугольника равна \( S_{\triangle} = \sqrt{3} R^2 \). Каждый сектор окружности с углом \( 60^\circ \) имеет площадь \( S_{\text{sector}} = \frac{1}{6} \pi R^2 \), и для трех окружностей общая площадь секторов составляет \( S_{\text{total sectors}} = \frac{1}{2} \pi R^2 \). Площадь закрашенной фигуры вычисляется как \( S_{\text{shaded}} = S_{\triangle} — S_{\text{total sectors}} = \sqrt{3} R^2 — \frac{1}{2} \pi R^2 \), что дает окончательный результат \( R^2 \left( \sqrt{3} — \frac{\pi}{2} \right) \).

Подробный ответ:

Пусть три окружности имеют радиус \( R \) и попарно касаются друг друга. Центры окружностей образуют равносторонний треугольник. Рассмотрим шаги для вычисления площади закрашенной фигуры.

Радиус окружностей равен \( R \). Поскольку окружности касаются друг друга, расстояние между центрами любой пары окружностей равно \( 2R \). Центры окружностей образуют равносторонний треугольник со стороной \( 2R \).

Площадь равностороннего треугольника с длиной стороны \( a \) вычисляется по формуле:

\[
S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]

В нашем случае длина стороны \( a = 2R \), поэтому площадь треугольника равна:

\[
S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2R)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4R^2 = \sqrt{3} R^2
\]

Следующий шаг — вычислить площадь секторов окружностей. Каждый сектор окружности, образованный двумя радиусами и хордой, имеет угол в \( 60^\circ \) (или \( \frac{\pi}{3} \) радиан). Площадь одного сектора окружности равна:

\[
S_{\text{sector}} = \frac{\theta}{2\pi} S_{\text{circle}} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2\pi} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi R^2
\]

Поскольку у нас три окружности, общая площадь секторов равна:

\[
S_{\text{total sectors}} = 3 \cdot \frac{1}{6} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi R^2
\]

Теперь мы можем найти площадь закрашенной фигуры, вычитая площадь секторов из площади треугольника:

\[
S_{\text{shaded}} = S_{\triangle} — S_{\text{total sectors}} = \sqrt{3} R^2 — \frac{1}{2} \pi R^2
\]

Чтобы выразить результат в более удобной форме, можно привести к общему знаменателю:

\[
S_{\text{shaded}} = \sqrt{3} R^2 — \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{2\sqrt{3}}{2} R^2 — \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{2\sqrt{3} — \pi}{2} R^2
\]

Итак, окончательный ответ на задачу о площади закрашенной фигуры:

\( R^2 \left( \sqrt{3} — \frac{\pi}{2} \right) \)



Общая оценка
5 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы