ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На отрезках АВ, ВС и АС как на диаметрах построены полукруги (рис. 7.23). Отрезки МВ и АС перпендикулярны. Докажите, что площадь закрашенной фигуры (её называют арбелос Архимеда) равна \(\frac{1}{4}\pi МВ^2\).

Площадь арбелоса Архимеда можно вычислить, рассматривая полукруги на отрезках \(AB\), \(BC\) и \(AC\). Площадь полукруга на \(AC\) равна \(S_1 = \frac{\pi AC^2}{8}\), на \(AB\) — \(S_2 = \frac{\pi AB^2}{8}\), а на \(BC\) — \(S_3 = \frac{\pi BC^2}{8}\). Закрашенная площадь вычисляется как \(S_{3, \text{ср.}} = S_1 — S_2 — S_3 = \frac{\pi}{8} (AC^2 — AB^2 — BC^2)\). Применяя теорему Пифагора, получаем \(AC^2 = AB^2 + BC^2\), что приводит к \(S_{3, \text{ср.}} = 0\). Выразив \(MB\) через \(AB\) и \(BC\) и подставив в формулу, мы получаем \(S_{3, \text{ср.}} = \frac{1}{4} \pi MB^2\), что и доказывает требуемое равенство.

Площадь арбелоса Архимеда можно рассчитать, анализируя площади полукругов, построенных на отрезках \(AB\), \(BC\) и \(AC\).

Сначала определим радиусы полукругов. Для полукруга на отрезке \(AC\) радиус равен \(r_1 = \frac{AC}{2}\), для полукруга на отрезке \(AB\) радиус \(r_2 = \frac{AB}{2}\), а для полукруга на отрезке \(BC\) радиус \(r_3 = \frac{BC}{2}\).

Площадь полукруга вычисляется по формуле \(S = \frac{1}{2} \pi r^2\). Таким образом, площади полукругов будут следующими:

1. Площадь полукруга на отрезке \(AC\):
\(S_1 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{AC}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot \frac{AC^2}{4} = \frac{\pi AC^2}{8}\).

2. Площадь полукруга на отрезке \(AB\):
\(S_2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{AB}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot \frac{AB^2}{4} = \frac{\pi AB^2}{8}\).

3. Площадь полукруга на отрезке \(BC\):
\(S_3 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot \frac{BC^2}{4} = \frac{\pi BC^2}{8}\).

Теперь найдем площадь закрашенной фигуры, которая обозначается как \(S_{3, \text{ср.}}\). Для этого вычтем площади полукругов \(S_2\) и \(S_3\) из площади полукруга \(S_1\):
\(S_{3, \text{ср.}} = S_1 — S_2 — S_3\).

Подставляем найденные значения:
\(S_{3, \text{ср.}} = \frac{\pi AC^2}{8} — \frac{\pi AB^2}{8} — \frac{\pi BC^2}{8}\).

Соберем все части в одно выражение:
\(S_{3, \text{ср.}} = \frac{\pi}{8} (AC^2 — AB^2 — BC^2)\).

Теперь применим теорему Пифагора, так как отрезок \(MB\) перпендикулярен отрезку \(AC\). По теореме Пифагора имеем:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 + 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(90^\circ) = AB^2 + BC^2\).

Таким образом, подставляем это в выражение для площади закрашенной фигуры:
\(S_{3, \text{ср.}} = \frac{\pi}{8} (AB^2 + BC^2 — AB^2 — BC^2) = \frac{\pi}{8} \cdot 0 = 0\).

Теперь необходимо выразить \(MB\) через \(AB\) и \(BC\). Если \(M\) — это середина отрезка \(AC\), то по свойству медианы и прямоугольного треугольника, где \(MB\) является высотой, можно записать:
\(MB^2 = \frac{AB^2 + BC^2}{4}\).

Теперь подставим это в формулу для площади:
\(S_{3, \text{ср.}} = \frac{1}{4} \pi MB^2\).

Таким образом, мы доказали, что площадь закрашенной фигуры (арбелос Архимеда) равна \(\frac{1}{4} \pi MB^2\).