ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Хорда АВ большей из двух концентрических окружностей касается меньшей окружности (рис. 7.24). Найдите площадь закрашенного кольца, если АВ = а.

Радиус большей окружности обозначим как \( R \), а радиус меньшей окружности как \( r \). Хорда \( AB \), равная \( a \), касается меньшей окружности, поэтому расстояние от центра до хорды равно \( r \). По формуле для расстояния от центра до хорды получаем \( r = \sqrt{R^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2} \). Выразив \( R^2 \) через \( r \), получаем \( R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \). Площадь закрашенного кольца \( S \) вычисляется как разность площадей двух окружностей: \( S = \pi R^2 — \pi r^2 = \pi \left(r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\right) — \pi r^2 = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 \). Таким образом, окончательный ответ: \( S = \frac{\pi a^2}{4} \).

Пусть радиус большей окружности равен \( R \), а радиус меньшей окружности равен \( r \). Хорда \( AB \) равна \( a \) и касается меньшей окружности.

1. Расстояние от центра окружностей до хорды \( AB \) равно \( r \). Используя формулу для расстояния от центра до хорды, мы имеем:

\[
r = \sqrt{R^2 — \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

2. Теперь выразим \( R^2 \) через \( r \):

\[
R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]

3. Площадь закрашенного кольца \( S \) между двумя окружностями вычисляется как разность площадей большой и меньшей окружностей:

\[
S = \pi R^2 — \pi r^2
\]

4. Подставим выражение для \( R^2 \):

\[
S = \pi \left( r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \right) — \pi r^2
\]

5. Упрощаем:

\[
S = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2
\]

6. Записываем окончательный результат:

\[
S = \frac{\pi a^2}{4}
\]