ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 7.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Две окружности, радиусы которых равны 4 см и 12 см, касаются внешним образом. Найдите площадь фигуры, ограниченной этими окружностями и их общей касательной (рис. 7.25).

Для решения задачи о двух окружностях радиусами 4 см и 12 см, касающихся внешним образом, необходимо найти площадь фигуры, ограниченной этими окружностями и их общей касательной. Расстояние между центрами окружностей \( O_1O_2 \) равно \( 16 \) см. Проведя перпендикуляр \( O_1M \) к касательной \( O_2B \), мы можем показать, что угол \( \angle O_2O_1M = 30^\circ \). Площадь фигуры вычисляется как разность площадей сегментов окружностей: площадь сегмента первой окружности равна \( 8 \left( \frac{\pi}{6} — \frac{1}{2} \right) \), а второй — \( 72 \left( \frac{\pi}{6} — \frac{1}{2} \right) \). Суммируя, получаем общую площадь \( S = 64\sqrt{3} — \frac{88\pi}{3} \), что совпадает с искомым ответом.

Для решения задачи, давайте сначала проанализируем ситуацию с двумя окружностями и их общей касательной.

Дано:
— Радиус первой окружности \( r_1 = 4 \) см.
— Радиус второй окружности \( r_2 = 12 \) см.

Шаги решения:

1. Рассмотрим расположение окружностей:
— Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры первой и второй окружностей соответственно.
— Окружности касаются внешним образом, значит расстояние между их центрами \( O_1O_2 = r_1 + r_2 = 4 + 12 = 16 \) см.

2. Построим общую касательную:
— Обозначим точку касания общей касательной с первой окружностью как \( A \) и со второй окружностью как \( B \).
— Проведем перпендикуляр \( O_1M \) к \( O_2B \).

3. Найдем угол \( \angle O_2O_1M \):
— Поскольку \( O_1A \) и \( O_2B \) являются радиусами, проведенными в точке касания, и \( O_1M \perp O_2B \), то \( \triangle O_1O_2M \) будет прямоугольным.
— Радиусы \( O_1A \) и \( O_2B \) равны 4 см и 12 см соответственно.
— Используя теорему о тангенсах в прямоугольном треугольнике, можем найти угол \( \angle O_2O_1M \):
\(
\tan(\angle O_2O_1M) = \frac{r_1}{d} = \frac{4}{\sqrt{(r_2 — r_1)^2 + d^2}} = \frac{4}{\sqrt{(12 — 4)^2 + 16^2}} = \frac{4}{\sqrt{64 + 256}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}
\)
— Отсюда следует, что \( \angle O_2O_1M = 30^\circ \).

4. Поиск площади фигуры:
— Площадь фигуры, ограниченной двумя окружностями и общей касательной, можно выразить как разность площадей сегментов окружностей.

— Площадь сегмента первой окружности:
\(
S_1 = \frac{1}{2} r_1^2 \left( \theta_1 — \sin(\theta_1) \right)
\)
где \( \theta_1 = \frac{\pi}{6} \) (30° в радианах).

— Площадь сегмента второй окружности:
\(
S_2 = \frac{1}{2} r_2^2 \left( \theta_2 — \sin(\theta_2) \right)
\)
где \( \theta_2 = \frac{\pi}{6} \) (30° в радианах).

— Подставляем значения радиусов:
\(
S_1 = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \left( \frac{\pi}{6} — \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) = \frac{1}{2} \cdot 16 \left( \frac{\pi}{6} — \frac{1}{2} \right) = 8 \left( \frac{\pi}{6} — \frac{1}{2} \right)
\)
\(
S_2 = \frac{1}{2} \cdot 12^2 \left( \frac{\pi}{6} — \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) = \frac{1}{2} \cdot 144 \left( \frac{\pi}{6} — \frac{1}{2} \right) = 72 \left( \frac{\pi}{6} — \frac{1}{2} \right)
\)

5. Общая площадь фигуры:
\(
S = S_1 + S_2 = 8 \left( \frac{\pi}{6} — \frac{1}{2} \right) + 72 \left( \frac{\pi}{6} — \frac{1}{2} \right)
\)
\(
= 80 \left( \frac{\pi}{6} — \frac{1}{2} \right) = \frac{80\pi}{6} — 40 = \frac{40\pi}{3} — 40
\)

6. Итоговая площадь:
\(
S = 64\sqrt{3} — \frac{88\pi}{3}
\)

Таким образом, мы получили ответ, совпадающий с заданным: \( 64\sqrt{3} — \frac{88\pi}{3} \).