ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.10 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что треугольник с вершинами в точках А (2; 7), В (-1; 4), С (1; 2) является прямоугольным.
Чтобы доказать, что треугольник с вершинами A(2, 7), B(-1, 4) и C(1, 2) является прямоугольным, найдем длины его сторон: \( AB = 3\sqrt{2} \), \( BC = 2\sqrt{2} \) и \( CA = \sqrt{26} \). Проверим теорему Пифагора: \( CA^2 = AB^2 + BC^2 \). Вычисляем: \( CA^2 = 26 \), \( AB^2 = 18 \), \( BC^2 = 8 \), и получаем \( AB^2 + BC^2 = 18 + 8 = 26 \). Поскольку равенство выполняется, треугольник ABC является прямоугольным.
Чтобы доказать, что треугольник с вершинами в точках A(2, 7), B(-1, 4) и C(1, 2) является прямоугольным, начнем с нахождения длин сторон треугольника.
Длина стороны между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) вычисляется по формуле:
\( d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \)
Сначала найдем длину стороны AB:
\( AB = \sqrt{((-1) — 2)^2 + (4 — 7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
Теперь найдем длину стороны BC:
\( BC = \sqrt{(1 — (-1))^2 + (2 — 4)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
Теперь найдем длину стороны CA:
\( CA = \sqrt{(2 — 1)^2 + (7 — 2)^2} = \sqrt{(1)^2 + (5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \)
Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника:
AB = \( 3\sqrt{2} \)
BC = \( 2\sqrt{2} \)
CA = \( \sqrt{26} \)
Следующий шаг — проверить, выполняется ли теорема Пифагора. Для этого определим, какая сторона самая длинная. Мы видим, что CA является самой длинной стороной, так как \( \sqrt{26} > 3\sqrt{2} \) и \( \sqrt{26} > 2\sqrt{2} \).
Теперь проверим, выполняется ли равенство:
\( CA^2 = AB^2 + BC^2 \)
Вычислим каждую сторону:
\( CA^2 = (\sqrt{26})^2 = 26 \)
\( AB^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \)
\( BC^2 = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 \)
Теперь подставим значения:
\( AB^2 + BC^2 = 18 + 8 = 26 \)
Поскольку \( CA^2 = AB^2 + BC^2 \), это означает, что треугольник ABC является прямоугольным.