ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.11 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Точки А (-1; 2) и В (7; 4) являются вершинами прямоугольного треугольника. Может ли третья вершина треугольника иметь координаты: 1) (7; 2); 2) (2; — 3)?
1) \( AB = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \)
\[
AC = \sqrt{64 + 0} = 8; \quad BC = \sqrt{0 + 4} = 2
\]
\[
AC^2 + BC^2 = AB^2 \Rightarrow 90^\circ
\]
2) \( AC = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}; \quad BC = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \)
\[
AC^2 + BC^2 \neq AB^2 \Rightarrow \text{не } 90^\circ.
\]
1. Для точки C (7, 2): Да, может образовать прямоугольный треугольник.
Длина отрезка AB вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:
\( AB = \sqrt{(7 — (-1))^2 + (4 — 2)^2} = \sqrt{(7 + 1)^2 + (4 — 2)^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} =\)
\(= \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} \).
Теперь находим длины отрезков AC и BC:
\( AC = \sqrt{(7 — (-1))^2 + (2 — 2)^2} = \sqrt{(7 + 1)^2 + 0^2} = \sqrt{8^2} = 8 \).
\( BC = \sqrt{(7 — 7)^2 + (4 — 2)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2 \).
Проверяем условие Пифагора:
\( AC^2 + BC^2 = 8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68 \).
\( AB^2 = (\sqrt{68})^2 = 68 \).
Так как \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \), угол между AC и BC равен 90°.
2. Для точки C (2, -3): Нет, не может образовать прямоугольный треугольник.
Сначала находим длину AC:
\( AC = \sqrt{(2 — (-1))^2 + (-3 — 2)^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \)
\(=\sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \).
Теперь находим длину BC:
\( BC = \sqrt{(2 — 7)^2 + (-3 — 4)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \).
Проверяем условие Пифагора:
\( AC^2 + BC^2 = (\sqrt{34})^2 + (\sqrt{74})^2 = 34 + 74 = 108 \).
\( AB^2 = (\sqrt{68})^2 = 68 \).
Так как \( AC^2 + BC^2 \neq AB^2 \), угол между AC и BC не равен 90°.
