ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.12 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

1) А (-2; — 7), В (-1; — 4) и С (5; 14); 2) D (-1; 3), E (2; 13) и F (5; 21)? В случае утвердительного ответа укажите, какая из точек лежит между двумя другими.

1) \( AB = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \)

\[
BC = \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}
\]

\[
AC = \sqrt{49 + 441} = \sqrt{490} = 7\sqrt{10}
\]

\[
AB + BC = AC \Rightarrow \text{коллинеарны } A, B, C
\]

2) \( DE = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} \)

\[
EF = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}
\]

\[
DF = \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360}
\]

\[
DE + EF \neq DF \Rightarrow \text{не коллинеарны.}
\]

1. Для проверки коллинеарности точек A, B и C, начнем с вычисления расстояний между ними. Координаты точек следующие: A(-2, -7), B(-1, -4), C(5, 14).

Расстояние AB рассчитывается по формуле:
\(
AB = \sqrt{(-1 — (-2))^2 + (-4 — (-7))^2} = \sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\)

Расстояние BC:
\(
BC = \sqrt{(5 — (-1))^2 + (14 — (-4))^2} = \sqrt{(6)^2 + (18)^2} = \sqrt{36 + 324} =\)
\(= \sqrt{360} = 6\sqrt{10}
\)

Расстояние AC:
\(
AC = \sqrt{(5 — (-2))^2 + (14 — (-7))^2} = \sqrt{(7)^2 + (21)^2} = \sqrt{49 + 441} =\)
\(= \sqrt{490} = 7\sqrt{10}
\)

Теперь проверим условие коллинеарности. Для этого необходимо, чтобы выполнялось равенство:
\(
AB + BC = AC
\)
Подставляем найденные значения:
\(
\sqrt{10} + 6\sqrt{10} = 7\sqrt{10}
\)
Это равенство выполняется, следовательно, точки A, B и C коллинеарны.

Чтобы определить, какая из точек лежит между двумя другими, рассмотрим координаты. Точка B (-1, -4) находится между A (-2, -7) и C (5, 14) по координате x, так как -2 < -1 < 5. 2. Теперь рассмотрим точки D, E и F с координатами D(-1, 3), E(2, 13), F(5, 21). Сначала вычислим расстояния между этими точками. Расстояние DE: \( DE = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (13 - 3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (10)^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} \) Расстояние EF: \( EF = \sqrt{(5 - 2)^2 + (21 - 13)^2} = \sqrt{(3)^2 + (8)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \) Расстояние DF: \( DF = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (21 - 3)^2} = \sqrt{(6)^2 + (18)^2} = \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360} \) Теперь проверим условие коллинеарности для точек D, E и F. Необходимо, чтобы выполнялось равенство: \( DE + EF = DF \) Подставляем значения: \( \sqrt{109} + \sqrt{73} \neq \sqrt{360} \) Это равенство не выполняется, следовательно, точки D, E и F не коллинеарны.