ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.15 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек А (-1; — 1) и В (2; 4).

Для нахождения точки на оси абсцисс, равноудалённой от точек \(A(-1, -1)\) и \(B(2, 4)\), обозначим искомую точку как \(C(x, 0)\). Приравняв расстояния \(d(C, A) = d(C, B)\), получаем уравнение \(\sqrt{(x + 1)^2 + 1} = \sqrt{(x — 2)^2 + 16}\). Возводя обе стороны в квадрат и упрощая, получаем \(6x — 18 = 0\), что даёт \(x = 3\). Таким образом, искомая точка имеет координаты \(C(3, 0)\).

Для нахождения точки на оси абсцисс, равноудалённой от точек \(A(-1, -1)\) и \(B(2, 4)\), обозначим искомую точку как \(C(x, 0)\). Сначала вычислим расстояние от точки \(C\) до точки \(A\):

\(d(C, A) = \sqrt{(x — (-1))^2 + (0 — (-1))^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + 1}\).

Теперь найдём расстояние от точки \(C\) до точки \(B\):

\(d(C, B) = \sqrt{(x — 2)^2 + (0 — 4)^2} = \sqrt{(x — 2)^2 + 16}\).

Чтобы найти точку \(C\), равноудалённую от \(A\) и \(B\), приравняем эти два расстояния:

\(\sqrt{(x + 1)^2 + 1} = \sqrt{(x — 2)^2 + 16}\).

Теперь возведём обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\((x + 1)^2 + 1 = (x — 2)^2 + 16\).

Раскроем скобки:

\(x^2 + 2x + 1 + 1 = x^2 — 4x + 4 + 16\).

Упрощаем уравнение:

\(x^2 + 2x + 2 = x^2 — 4x + 20\).

Сократим \(x^2\) с обеих сторон и перенесём все термины на одну сторону:

\(2x + 2 + 4x — 20 = 0\).

Это упрощается до:

\(6x — 18 = 0\).

Решим это уравнение:

\(6x = 18\) приводит к \(x = 3\).

Таким образом, координаты искомой точки \(C\) равны \(C(3, 0)\).