ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.16 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек D (-2; — 3) и Е (4; 1).

Чтобы найти координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек \(D(-2, -3)\) и \(E(4, 1)\), обозначим искомую точку как \(A(0, y)\). Уравнение расстояний между точками \(A\) и \(D\) и \(A\) и \(E\) даёт \(\sqrt{4 + (y + 3)^2} = \sqrt{16 + (y — 1)^2}\). Квадратируя обе стороны и упрощая, получаем \(8y = 4\), откуда \(y = 0.5\). Таким образом, координаты искомой точки: \((0; 0.5)\).

Чтобы найти координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек \(D(-2, -3)\) и \(E(4, 1)\), обозначим искомую точку как \(A(0, y)\). Рассмотрим расстояние от точки \(A\) до точки \(D\):

\(AD = \sqrt{(0 — (-2))^2 + (y — (-3))^2} = \sqrt{(2)^2 + (y + 3)^2} = \sqrt{4 + (y + 3)^2}\).

Теперь найдем расстояние от точки \(A\) до точки \(E\):

\(AE = \sqrt{(0 — 4)^2 + (y — 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (y — 1)^2} = \sqrt{16 + (y — 1)^2}\).

Поскольку точка \(A\) равноудалена от точек \(D\) и \(E\), мы можем записать уравнение:

\(\sqrt{4 + (y + 3)^2} = \sqrt{16 + (y — 1)^2}\).

Квадратируем обе стороны уравнения, чтобы убрать квадратные корни:

\(4 + (y + 3)^2 = 16 + (y — 1)^2\).

Теперь раскроем скобки:

\(4 + (y^2 + 6y + 9) = 16 + (y^2 — 2y + 1)\).

Упрощаем уравнение, собирая все члены в одну сторону:

\(4 + y^2 + 6y + 9 — 16 — y^2 + 2y — 1 = 0\).

Сокращая \(y^2\) и упрощая, получаем:

\(6y + 2y + 4 — 16 — 1 = 0\),

что упрощается до:

\(8y — 13 = 0\).

Решаем это уравнение:

\(8y = 13\) приводит к \(y = \frac{13}{8} = 1.625\).

Однако, чтобы получить ответ \((0; 0.5)\), проверим ещё раз. Установим равенство расстояний:

\(\sqrt{4 + (y + 3)^2} = \sqrt{16 + (y — 1)^2}\).

Квадратируем:

\(4 + (y + 3)^2 = 16 + (y — 1)^2\).

Раскрываем скобки:

\(4 + y^2 + 6y + 9 = 16 + y^2 — 2y + 1\).

Собираем все члены в одну сторону:

\(4 + 9 + 6y = 16 + 1 — 2y\).

Упрощаем:

\(13 + 6y = 17 — 2y\).

Переносим все \(y\) в одну сторону:

\(6y + 2y = 17 — 13\).

Это приводит к:

\(8y = 4\) и, следовательно, \(y = \frac{4}{8} = 0.5\).

Таким образом, координаты искомой точки: \((0; 0.5)\).