ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.2 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что точка М (0; — 1) является центром окружности, описанной около треугольника АВС, если А (6; — 9), В (-6; 7), С (8; 5).
Чтобы доказать, что точка \( M(0, -1) \) является центром окружности, описанной около треугольника \( ABC \) с вершинами \( A(6, -9) \), \( B(-6, 7) \) и \( C(8, 5) \), вычислим расстояния от точки \( M \) до каждой из вершин. Расстояние \( MA \) равно \( \sqrt{(6 — 0)^2 + (-9 + 1)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \). Расстояние \( MB \) равно \( \sqrt{(-6 — 0)^2 + (7 + 1)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \). Расстояние \( MC \) равно \( \sqrt{(8 — 0)^2 + (5 + 1)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \). Так как \( MA = MB = MC = 10 \), точка \( M(0, -1) \) действительно является центром окружности, описанной вокруг треугольника \( ABC \).
Для доказательства, что точка \( M(0, -1) \) является центром окружности, описанной около треугольника \( ABC \) с вершинами \( A(6, -9) \), \( B(-6, 7) \) и \( C(8, 5) \), необходимо вычислить расстояния от точки \( M \) до каждой из вершин треугольника и показать, что они равны.
Расстояние между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) вычисляется по формуле:
\( d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \)
Сначала найдем расстояние от точки \( M \) до точки \( A \).
Расстояние \( MA \):
\( MA = \sqrt{(6 — 0)^2 + (-9 — (-1))^2} \)
Упрощаем выражение:
\( MA = \sqrt{6^2 + (-9 + 1)^2} \)
\( MA = \sqrt{6^2 + (-8)^2} \)
Теперь вычислим квадраты:
\( MA = \sqrt{36 + 64} \)
Сложим результаты:
\( MA = \sqrt{100} \)
Таким образом, получаем:
\( MA = 10 \)
Теперь найдем расстояние от точки \( M \) до точки \( B \).
Расстояние \( MB \):
\( MB = \sqrt{(-6 — 0)^2 + (7 — (-1))^2} \)
Упрощаем выражение:
\( MB = \sqrt{(-6)^2 + (7 + 1)^2} \)
\( MB = \sqrt{36 + 8^2} \)
Теперь вычислим квадраты:
\( MB = \sqrt{36 + 64} \)
Сложим результаты:
\( MB = \sqrt{100} \)
Таким образом, получаем:
\( MB = 10 \)
Теперь найдем расстояние от точки \( M \) до точки \( C \).
Расстояние \( MC \):
\( MC = \sqrt{(8 — 0)^2 + (5 — (-1))^2} \)
Упрощаем выражение:
\( MC = \sqrt{8^2 + (5 + 1)^2} \)
\( MC = \sqrt{8^2 + 6^2} \)
Теперь вычислим квадраты:
\( MC = \sqrt{64 + 36} \)
Сложим результаты:
\( MC = \sqrt{100} \)
Таким образом, получаем:
\( MC = 10 \)
Теперь сравним расстояния:
\( MA = 10 \)
\( MB = 10 \)
\( MC = 10 \)
Поскольку все три расстояния равны, то точка \( M(0, -1) \) является центром окружности, описанной около треугольника \( ABC \).
