ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.20 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (-2; 8), В (3; — 3), С (6; 2) и D (1; 13) является параллелограммом.
Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD с вершинами A(-2, 8), B(3, -3), C(6, 2) и D(1, 13) является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны равны или параллельны. Рассмотрим векторы: \(\vec{AB} = (5, -11)\) и \(\vec{CD} = (-5, 11)\), которые являются противоположными. Также \(\vec{BC} = (3, 5)\) и \(\vec{AD} = (3, 5)\) равны. Поскольку противоположные стороны равны, ABCD является параллелограммом.
Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD с вершинами A(-2, 8), B(3, -3), C(6, 2) и D(1, 13) является параллелограммом, мы можем воспользоваться свойством равенства противоположных сторон. Для начала найдем координаты векторов, описывающих стороны четырёхугольника.
Вектор AB вычисляется как разность координат точек B и A:
\(\vec{AB} = B — A = (3 — (-2), -3 — 8) = (3 + 2, -3 — 8) = (5, -11)\).
Теперь найдем вектор CD, который определяется как разность координат точек D и C:
\(\vec{CD} = D — C = (1 — 6, 13 — 2) = (-5, 11)\).
Обратите внимание, что вектор CD является противоположным вектору AB, так как \(\vec{CD} = -\vec{AB}\).
Теперь рассмотрим векторы BC и AD. Вектор BC находится как разность координат точки C и точки B:
\(\vec{BC} = C — B = (6 — 3, 2 — (-3)) = (3, 2 + 3) = (3, 5)\).
Теперь вычислим вектор AD, который определяется как разность координат точки D и точки A:
\(\vec{AD} = D — A = (1 — (-2), 13 — 8) = (1 + 2, 13 — 8) = (3, 5)\).
Теперь мы видим, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) равны по длине и направлению, так как \(\vec{CD} = -\vec{AB}\). Это указывает на то, что стороны AB и CD параллельны и равны. Также векторы \(\vec{BC}\) и \(\vec{AD}\) равны, что означает, что стороны BC и AD также параллельны и равны.
Таким образом, поскольку обе пары противоположных сторон равны и параллельны, мы можем сделать вывод, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.
