ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.22 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках А (-2; 6), В (-8; — 2), С (0; — 8) и D (6; 0) является квадратом.

Четырёхугольник ABCD с вершинами A(-2, 6), B(-8, -2), C(0, -8) и D(6, 0) является квадратом, так как все его стороны равны длине 10 (длину сторон можно вычислить с помощью формулы расстояния), а углы между соседними сторонами равны 90 градусам (что подтверждается нулевым значением скалярного произведения векторов, образованных сторонами). Таким образом, ABCD удовлетворяет условиям квадрата.

Четырёхугольник ABCD с вершинами A(-2, 6), B(-8, -2), C(0, -8) и D(6, 0) является квадратом, если все его стороны равны и углы между ними равны 90 градусам.

Сначала вычислим длины сторон. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\):

\( d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \).

Длина стороны AB между точками A(-2, 6) и B(-8, -2):

\( AB = \sqrt{((-8) — (-2))^2 + ((-2) — 6)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} =\)
\(= \sqrt{100} = 10 \).

Длина стороны BC между точками B(-8, -2) и C(0, -8):

\( BC = \sqrt{(0 — (-8))^2 + ((-8) — (-2))^2} = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} =\)
\(= \sqrt{100} = 10 \).

Длина стороны CD между точками C(0, -8) и D(6, 0):

\( CD = \sqrt{(6 — 0)^2 + (0 — (-8))^2} = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \).

Длина стороны DA между точками D(6, 0) и A(-2, 6):

\( DA = \sqrt{((-2) — 6)^2 + (6 — 0)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} =\)
\(= 10 \).

Теперь проверим, равны ли углы 90 градусам. Для этого используем скалярное произведение векторов. Если скалярное произведение двух векторов равно 0, то они перпендикулярны.

Вектор AB: \((-6, -8)\) и вектор BC: \((8, -6)\). Скалярное произведение:

\( AB \cdot BC = (-6) \cdot 8 + (-8) \cdot (-6) = -48 + 48 = 0 \).

Вектор BC: \((8, -6)\) и вектор CD: \((6, 8)\). Скалярное произведение:

\( BC \cdot CD = (8) \cdot 6 + (-6) \cdot 8 = 48 — 48 = 0 \).

Вектор CD: \((6, 8)\) и вектор DA: \((-8, 6)\). Скалярное произведение:

\( CD \cdot DA = (6) \cdot (-8) + (8) \cdot 6 = -48 + 48 = 0 \).

Вектор DA: \((-8, 6)\) и вектор AB: \((-6, -8)\). Скалярное произведение:

\( DA \cdot AB = (-8) \cdot (-6) + (6) \cdot (-8) = 48 — 48 = 0 \).

Все стороны равны 10, и все углы между ними равны 90 градусам. Следовательно, четырёхугольник ABCD является квадратом.