ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.23 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки D (1; 4) и Е (2; 2) — середины сторон АС и ВС треугольника АВС соответственно. Найдите координаты вершин А и С, если B (-3; — 1).

Для нахождения координат вершин треугольника A и C, зная, что точки D(1, 4) и E(2, 2) являются серединами сторон AC и BC соответственно, а точка B(-3, -1), используем формулы для середин отрезков. Из условия для середины D получаем систему уравнений: \(x_A + x_C = 2\) и \(y_A + y_C = 8\). Для середины E находим \(x_C = 7\) и \(y_C = 5\). Подставляя эти значения в уравнения, находим \(x_A = -5\) и \(y_A = 3\). Таким образом, координаты вершин A и C: \(A(-5, 3)\) и \(C(7, 5)\).

Для нахождения координат вершин A и C треугольника ABC, где D(1, 4) и E(2, 2) являются серединами сторон AC и BC соответственно, а точка B имеет координаты B(-3, -1), используем свойства середин отрезков.

Сначала применим формулу для нахождения координат середины отрезка. Если у нас есть две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), то координаты середины \( M(x_m, y_m) \) вычисляются по формулам: \( x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} \) и \( y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} \).

Для точки D(1, 4), которая является серединой отрезка AC, мы можем записать два уравнения:

1. Для координаты x:
\[
1 = \frac{x_A + x_C}{2} \quad \Rightarrow \quad x_A + x_C = 2
\]

2. Для координаты y:
\[
4 = \frac{y_A + y_C}{2} \quad \Rightarrow \quad y_A + y_C = 8
\]

Теперь перейдем к точке E(2, 2), которая является серединой отрезка BC. Сначала найдем координаты C. Составим уравнения:

1. Для координаты x:
\[
2 = \frac{-3 + x_C}{2} \quad \Rightarrow \quad -3 + x_C = 4 \quad \Rightarrow \quad x_C = 7
\]

2. Для координаты y:
\[
2 = \frac{-1 + y_C}{2} \quad \Rightarrow \quad -1 + y_C = 4 \quad \Rightarrow \quad y_C = 5
\]

Теперь у нас есть координаты точки C: \( C(7, 5) \). Подставим значения \( x_C \) и \( y_C \) в уравнения, которые мы получили для точки A:

1. Подставляем \( x_C \):
\[
x_A + 7 = 2 \quad \Rightarrow \quad x_A = 2 — 7 = -5
\]

2. Подставляем \( y_C \):
\[
y_A + 5 = 8 \quad \Rightarrow \quad y_A = 8 — 5 = 3
\]

Таким образом, мы нашли координаты точки A: \( A(-5, 3) \) и подтверждаем координаты точки C: \( C(7, 5) \).