ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.25 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки А (x1; y), В (x2; У2), C (x3; У3), D (x4; y4) — вершины четырёхугольника ABCD. Докажите, что этот четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда \(x_1 + x_3 = x_2 + x_4\) и \(y_1 + y_3 = y_2 + y_4\).

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда выполняются условия \(x_1 + x_3 = x_2 + x_4\) и \(y_1 + y_3 = y_2 + y_4\). Это следует из того, что для параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны, что можно выразить через векторы: \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\). Условия равенства координат показывают, что разность координат противоположных вершин совпадает, что и доказывает, что ABCD является параллелограммом. Обратное также верно: если указанные условия выполняются, то векторы сторон равны, что подтверждает параллелограмм.

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда выполняются условия \(x_1 + x_3 = x_2 + x_4\) и \(y_1 + y_3 = y_2 + y_4\).

Для начала рассмотрим, что означает, что ABCD является параллелограммом. Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. Это свойство можно выразить через векторы. Векторы, представляющие стороны, можно записать следующим образом:

\(\overrightarrow{AB} = (x_2 — x_1, y_2 — y_1)\) и \(\overrightarrow{CD} = (x_4 — x_3, y_4 — y_3)\). Для того чтобы эти векторы были равны, необходимо, чтобы выполнялись условия \(x_2 — x_1 = x_4 — x_3\) и \(y_2 — y_1 = y_4 — y_3\).

Аналогично, векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) записываются как \(\overrightarrow{AD} = (x_4 — x_1, y_4 — y_1)\) и \(\overrightarrow{BC} = (x_3 — x_2, y_3 — y_2)\). Для равенства этих векторов также должны выполняться условия \(x_4 — x_1 = x_3 — x_2\) и \(y_4 — y_1 = y_3 — y_2\).

Теперь, если сложить уравнения для векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), получим:

\(x_2 — x_1 + x_4 — x_3 = 0\), что можно переписать как \(x_1 + x_3 = x_2 + x_4\). Аналогично для координат y:

\(y_2 — y_1 + y_4 — y_3 = 0\) приводит к \(y_1 + y_3 = y_2 + y_4\). Таким образом, если ABCD является параллелограммом, то условия \(x_1 + x_3 = x_2 + x_4\) и \(y_1 + y_3 = y_2 + y_4\) обязательно выполняются.

Теперь докажем обратное утверждение: если выполняются условия \(x_1 + x_3 = x_2 + x_4\) и \(y_1 + y_3 = y_2 + y_4\), то ABCD также является параллелограммом. Из первого условия \(x_1 + x_3 = x_2 + x_4\) можно выразить разности координат:

\(x_2 — x_1 = x_4 — x_3\). Это означает, что длины и направления векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равны. Аналогично, из второго условия \(y_1 + y_3 = y_2 + y_4\) следует, что \(y_2 — y_1 = y_4 — y_3\).

Таким образом, векторы \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{BC}\) также равны, что подтверждает, что ABCD является параллелограммом. Следовательно, мы пришли к выводу, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда выполняются условия \(x_1 + x_3 = x_2 + x_4\) и \(y_1 + y_3 = y_2 + y_4\).