ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.26 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите координаты вершины С равностороннего треугольника АВС, если А (2; — 3) и В (-2; 3).

Чтобы найти координаты вершины \(C\) равностороннего треугольника \(ABC\) с \(A(2, -3)\) и \(B(-2, 3)\), сначала вычислим длину стороны \(AB\), которая равна \(2\sqrt{13}\). Затем найдем середину отрезка \(AB\), которая находится в точке \(M(0, 0)\). Поворачивая вектор \(AB\) на \(60^\circ\) и \(-60^\circ\) относительно точки \(M\), получаем два возможных положения для точки \(C\): \(C_1 \approx (-3.464, 3)\) и \(C_2 \approx (3.464, -3)\). Ваши варианты координат не совпадают с найденными, проверьте условия задачи.

Для нахождения координат вершины \(C\) равностороннего треугольника \(ABC\) с известными координатами \(A(2, -3)\) и \(B(-2, 3)\), начнем с вычисления длины стороны \(AB\). Используем формулу расстояния между двумя точками:

\( AB = \sqrt{(x_B — x_A)^2 + (y_B — y_A)^2} \).

Подставим координаты:

\( AB = \sqrt{((-2) — 2)^2 + (3 — (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 36} =\)
\(= \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \).

Теперь найдем середину отрезка \(AB\), которая будет служить опорной точкой для нахождения координат \(C\):

\( M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = M\left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{-3 + 3}{2}\right) = M(0, 0) \).

Теперь, чтобы найти координаты точки \(C\), нужно повернуть вектор \(AB\) на \(60^\circ\) и \(-60^\circ\) относительно точки \(M\). Вектор \(AB\) равен:

\( AB = (x_B — x_A, y_B — y_A) = (-2 — 2, 3 — (-3)) = (-4, 6) \).

Длина этого вектора равна \(2\sqrt{13}\). Теперь используем формулу поворота вектора на угол \(\theta\):

\( \text{Rotation}_{\theta}(x, y) = (x \cos \theta — y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta) \).

Для поворота на \(60^\circ\) (где \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\) и \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)) получаем:

\( C_1 = M + \text{Rotation}_{60^\circ}(AB) \).

Подставляем значения:

\( C_1 = (0, 0) + \left(-4 \cdot \frac{1}{2} — 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, -4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2}\right) \).

Вычисляем:

\( C_1 = \left(-2 — 3\sqrt{3}, -2\sqrt{3} + 3\right) \).

Теперь найдем координаты \(C_2\) путем поворота вектора на \(-60^\circ\):

\( C_2 = M + \text{Rotation}_{-60^\circ}(AB) \).

Используя \(\cos(-60^\circ) = \frac{1}{2}\) и \(\sin(-60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\( C_2 = (0, 0) + \left(-4 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, -4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) — 6 \cdot \frac{1}{2}\right) \).

Вычисляем:

\( C_2 = \left(-2 + 3\sqrt{3}, 2\sqrt{3} — 3\right) \).

Таким образом, координаты вершины \(C\) равностороннего треугольника \(ABC\) могут быть:

\( C_1 \approx (-2 — 3\sqrt{3}, -2\sqrt{3} + 3) \) и \( C_2 \approx (-2 + 3\sqrt{3}, 2\sqrt{3} — 3) \).