ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.28 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В треугольнике ABC АВ = ВС, А (5; 9), С (1; — 3), модули координат точки В равны. Найдите координаты точки В.

В треугольнике \( ABC \) с \( A(5, 9) \) и \( C(1, -3) \), где \( AB = BC \) и модули координат точки \( B \) равны, обозначим координаты \( B(x, y) \). Уравнение для равенства расстояний \( AB = BC \) приводит к \( x + 3y = 12 \). Учитывая, что \( |x| = |y| \), рассматриваем два случая: \( y = x \) и \( y = -x \). В первом случае получаем \( B(3, 3) \), а во втором \( B(-6, 6) \). Таким образом, координаты точки \( B \) могут быть \((3; 3)\) или \((-6; 6)\).

В треугольнике \( ABC \) с вершинами \( A(5, 9) \) и \( C(1, -3) \) известно, что \( AB = BC \) и модули координат точки \( B \) равны. Обозначим координаты точки \( B \) как \( B(x, y) \). Из условия равенства расстояний следует, что:

\[
AB = \sqrt{(x — 5)^2 + (y — 9)^2}
\]

\[
BC = \sqrt{(x — 1)^2 + (y + 3)^2}
\]

Поскольку \( AB = BC \), можно записать:

\[
\sqrt{(x — 5)^2 + (y — 9)^2} = \sqrt{(x — 1)^2 + (y + 3)^2}
\]

Квадратируем обе стороны уравнения, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[
(x — 5)^2 + (y — 9)^2 = (x — 1)^2 + (y + 3)^2
\]

Раскроем скобки:

\[
(x^2 — 10x + 25) + (y^2 — 18y + 81) = (x^2 — 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9)
\]

Упрощаем уравнение, собирая все члены в одну сторону:

\[
x^2 — 10x + 25 + y^2 — 18y + 81 — x^2 + 2x — 1 — y^2 — 6y — 9 = 0
\]

Сокращая, получаем:

\[
-8x — 24y + 96 = 0
\]

Упрощаем это уравнение:

\[
8x + 24y = 96 \quad \Rightarrow \quad x + 3y = 12
\]

Теперь учитываем условие, что модули координат точки \( B \) равны, то есть \( |x| = |y| \). Это дает два случая: \( y = x \) и \( y = -x \).

Рассмотрим первый случай \( y = x \). Подставим это в уравнение \( x + 3y = 12 \):

\[
x + 3x = 12 \quad \Rightarrow \quad 4x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\]

Следовательно, \( y = 3 \), и получаем координаты точки \( B(3, 3) \).

Теперь рассмотрим второй случай \( y = -x \). Подставим это в уравнение:

\[
x + 3(-x) = 12 \quad \Rightarrow \quad x — 3x = 12 \quad \Rightarrow \quad -2x = 12 \quad \Rightarrow \quad x = -6
\]

Следовательно, \( y = 6 \), и получаем координаты точки \( B(-6, 6) \).

Таким образом, координаты точки \( B \) могут быть \( (3; 3) \) или \( (-6; 6) \).