ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.29 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите координаты всех точек С оси абсцисс таких, что треугольник АВС равнобедренный, если А (1; 1), В (2; 3).

Чтобы найти точки \(C\) на оси абсцисс, при которых треугольник \(ABC\) равнобедренный, мы сравниваем длины сторон. Длина \(AC\) равна \(\sqrt{(x — 1)^2 + 1}\), длина \(BC\) равна \(\sqrt{(x — 2)^2 + 9}\), а длина \(AB\) равна \(\sqrt{5}\). Уравнение \(\sqrt{(x — 1)^2 + 1} = \sqrt{(x — 2)^2 + 9}\) приводит к \(x = 5.5\), а уравнение \(\sqrt{(x — 1)^2 + 1} = \sqrt{5}\) дает \(x = 3\) и \(x = -1\). Таким образом, координаты точек \(C\) на оси абсцисс: \((5.5, 0)\), \((3, 0)\) и \((-1, 0)\).

Чтобы найти координаты всех точек \(C\) на оси абсцисс, при которых треугольник \(ABC\) является равнобедренным, начнем с определения координат точек \(A(1, 1)\) и \(B(2, 3)\). Точка \(C\) будет иметь координаты \((x, 0)\).

Сначала вычислим длины сторон треугольника. Длина стороны \(AC\) определяется как:

\(AC = \sqrt{(x — 1)^2 + (0 — 1)^2} = \sqrt{(x — 1)^2 + 1}\).

Длина стороны \(BC\) равна:

\(BC = \sqrt{(x — 2)^2 + (0 — 3)^2} = \sqrt{(x — 2)^2 + 9}\).

Длина стороны \(AB\) вычисляется следующим образом:

\(AB = \sqrt{(2 — 1)^2 + (3 — 1)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\).

Теперь рассмотрим условия равнобедренности треугольника. Треугольник будет равнобедренным, если выполняется хотя бы одно из следующих равенств: \(AC = BC\), \(AB = AC\), или \(AB = BC\).

Начнем с первого условия \(AC = BC\):

\(\sqrt{(x — 1)^2 + 1} = \sqrt{(x — 2)^2 + 9}\).

Квадратируем обе стороны уравнения:

\((x — 1)^2 + 1 = (x — 2)^2 + 9\).

Раскроем скобки:

\(x^2 — 2x + 1 + 1 = x^2 — 4x + 4 + 9\).

Упрощаем уравнение:

\(x^2 — 2x + 2 = x^2 — 4x + 13\).

Сокращаем \(x^2\) с обеих сторон:

\(-2x + 2 = -4x + 13\).

Переносим все \(x\) на одну сторону:

\(2x = 11\).

Таким образом, получаем:

\(x = \frac{11}{2} = 5.5\).

Теперь рассмотрим второе условие \(AB = AC\):

\(\sqrt{(x — 1)^2 + 1} = \sqrt{5}\).

Квадратируем обе стороны:

\((x — 1)^2 + 1 = 5\).

Упрощаем:

\((x — 1)^2 = 4\).

Извлекаем корень:

\(x — 1 = \pm 2\).

Таким образом, получаем два значения:

\(x = 3\) и \(x = -1\).

Теперь рассмотрим третье условие \(AB = BC\):

\(\sqrt{(x — 2)^2 + 9} = \sqrt{5}\).

Квадратируем обе стороны:

\((x — 2)^2 + 9 = 5\).

Упрощаем:

\((x — 2)^2 = -4\).

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

Таким образом, мы нашли все возможные координаты точки \(C\) на оси абсцисс, при которых треугольник \(ABC\) равнобедренный. Они составляют: \((5.5, 0)\), \((3, 0)\) и \((-1, 0)\).