ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.3 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что углы В и С треугольника АВС равны, если A (5; — 7), B (-3; 8), C (-10; — 15).

Для доказательства равенства углов \( B \) и \( C \) треугольника \( ABC \) с вершинами \( A(5, -7) \), \( B(-3, 8) \) и \( C(-10, -15) \) вычислим длины сторон: \( AB = \sqrt{((-3) — 5)^2 + (8 — (-7))^2} = 17 \), \( BC = \sqrt{((-10) — (-3))^2 + ((-15) — 8)^2} = \sqrt{578} \), \( AC = \sqrt{((-10) — 5)^2 + ((-15) — (-7))^2} = 17 \). Поскольку \( AB = AC \), треугольник является изососceles, что означает, что углы \( B \) и \( C \) равны: \( \angle B = \angle C \).

Чтобы доказать, что углы \( B \) и \( C \) треугольника \( ABC \) равны, нам нужно рассмотреть координаты точек \( A(5, -7) \), \( B(-3, 8) \) и \( C(-10, -15) \) и вычислить длины сторон треугольника.

Сначала найдем длину стороны \( AB \) с использованием формулы расстояния между двумя точками. Расстояние \( d \) между точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) определяется как:

\( d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2} \)

Для \( AB \):

\( AB = \sqrt{((-3) — 5)^2 + (8 — (-7))^2} \)

Вычислим:

\( AB = \sqrt{(-8)^2 + (15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \)

Теперь найдем длину стороны \( BC \):

\( BC = \sqrt{((-10) — (-3))^2 + ((-15) — 8)^2} \)

Вычислим:

\( BC = \sqrt{(-7)^2 + (-23)^2} = \sqrt{49 + 529} = \sqrt{578} \)

Теперь найдем длину стороны \( AC \):

\( AC = \sqrt{((-10) — 5)^2 + ((-15) — (-7))^2} \)

Вычислим:

\( AC = \sqrt{(-15)^2 + (-8)^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \)

Теперь у нас есть длины сторон:

\( AB = 17 \)

\( BC = \sqrt{578} \)

\( AC = 17 \)

Сравнивая длины, мы видим, что \( AB = AC \). Это означает, что треугольник \( ABC \) является изососceles, где углы \( B \) и \( C \) равны. В изососceles треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны, следовательно:

\( \angle B = \angle C \)

Таким образом, мы доказали, что углы \( B \) и \( C \) треугольника \( ABC \) равны.