ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.30 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите координаты всех точек В оси ординат таких, что треугольник АВС прямоугольный, если А (1; 3), С (3; 7).

Для нахождения координат точки \( B(0, y) \) на оси ординат, чтобы треугольник \( ABC \) с вершинами \( A(1, 3) \) и \( C(3, 7) \) был прямоугольным, необходимо выполнить условия Пифагора. При решении уравнения \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \) получаем \( y = 3.5 \), а при \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \) — \( y = 6 \) и \( y = 4 \). Таким образом, координаты точек \( B \) — это \( (0, 6), (0, 4), (0, 3.5) \).

Для нахождения координат точки \( B(0, y) \) на оси ординат, чтобы треугольник \( ABC \) с вершинами \( A(1, 3) \) и \( C(3, 7) \) был прямоугольным, необходимо использовать теорему Пифагора.

Сначала найдём длины сторон треугольника. Длина отрезка \( AB \) вычисляется по формуле расстояния:

\( AB = \sqrt{(1 — 0)^2 + (3 — y)^2} = \sqrt{1 + (3 — y)^2} \).

Длина отрезка \( BC \):

\( BC = \sqrt{(3 — 0)^2 + (7 — y)^2} = \sqrt{9 + (7 — y)^2} \).

Длина отрезка \( AC \):

\( AC = \sqrt{(3 — 1)^2 + (7 — 3)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \).

Теперь применим условия для прямоугольного треугольника. Первое условие: \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \).

Подставляем выражения:

\( (1 + (3 — y)^2) + (2\sqrt{5})^2 = (9 + (7 — y)^2) \).

Упрощаем:

\( 1 + (3 — y)^2 + 20 = 9 + (7 — y)^2 \).

Это приводит к:

\( 21 + (3 — y)^2 = 9 + (7 — y)^2 \).

Раскрываем скобки:

\( 21 + 9 — 6y + y^2 = 9 + 49 — 14y + y^2 \).

Сокращаем \( y^2 \):

\( 21 — 6y = 49 — 14y \).

Переносим все члены в одну сторону:

\( 8y = 28 \) и отсюда \( y = 3.5 \).

Второе условие: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \).

Подставляем:

\( (1 + (3 — y)^2) + (9 + (7 — y)^2) = (2\sqrt{5})^2 \).

Упрощаем:

\( 1 + (3 — y)^2 + 9 + (7 — y)^2 = 20 \).

Это приводит к:

\( (3 — y)^2 + (7 — y)^2 = 10 \).

Раскрываем скобки:

\( (9 — 6y + y^2) + (49 — 14y + y^2) = 10 \).

Сокращаем:

\( 2y^2 — 20y + 58 = 10 \).

Переносим все члены:

\( 2y^2 — 20y + 48 = 0 \).

Делим на 2:

\( y^2 — 10y + 24 = 0 \).

Находим корни:

\( y = \frac{10 \pm \sqrt{100 — 96}}{2} = \frac{10 \pm 2}{2} \).

Таким образом, \( y_1 = 6 \) и \( y_2 = 4 \).

Третье условие \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \) не даёт новых решений.

Следовательно, координаты точек \( B \) на оси ординат, при которых треугольник \( ABC \) является прямоугольным, это \( (0, 6), (0, 4), (0, 3.5) \).