ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.31 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите координаты точки, равноудалённой от осей координат и от точки А (3; 6).

Для нахождения координат точки, равноудалённой от осей координат и от точки \( A(3; 6) \), мы ищем такие \( x \) и \( y \), что \( x = y \) и расстояние до точки \( A \) равно \( x \). Расстояние выражается как \( \sqrt{(x — 3)^2 + (x — 6)^2} \). Приравняв \( x \) к этому расстоянию и решив квадратное уравнение \( x^2 — 18x + 45 = 0 \), получаем два корня: \( x_1 = 15 \) и \( x_2 = 3 \). Таким образом, искомые координаты точек: \( (3; 3) \) и \( (15; 15) \).

Для нахождения координат точки, равноудалённой от осей координат и от точки \( A(3; 6) \), начнём с определения условий задачи. Точка, равноудалённая от осей координат, будет находиться на линии \( y = x \), что означает, что координаты искомой точки имеют равные значения: \( x = y \).

Теперь необходимо найти расстояние между искомой точкой \( (x; x) \) и точкой \( A(3; 6) \). Расстояние между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) вычисляется по формуле:

\[
d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}
\]

В нашем случае расстояние \( d \) от точки \( (x; x) \) до точки \( A(3; 6) \) будет равно:

\[
d = \sqrt{(x — 3)^2 + (x — 6)^2}
\]

Так как мы ищем точку, равноудалённую от осей координат, это расстояние должно быть равно \( x \):

\[
x = \sqrt{(x — 3)^2 + (x — 6)^2}
\]

Теперь возведём обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[
x^2 = (x — 3)^2 + (x — 6)^2
\]

Раскроем скобки:

\[
x^2 = (x^2 — 6x + 9) + (x^2 — 12x + 36)
\]

Объединим подобные члены:

\[
x^2 = 2x^2 — 18x + 45
\]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[
0 = x^2 — 18x + 45
\]

Теперь решим полученное квадратное уравнение \( x^2 — 18x + 45 = 0 \) с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\[
D = b^2 — 4ac
\]

где \( a = 1 \), \( b = -18 \), \( c = 45 \). Подставляем значения:

\[
D = (-18)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 45 = 324 — 180 = 144
\]

Теперь найдём корни уравнения, используя формулу:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\]

Подставляем значения:

\[
x = \frac{18 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{18 \pm 12}{2}
\]

Таким образом, получаем два корня:

\[
x_1 = \frac{30}{2} = 15, \quad x_2 = \frac{6}{2} = 3
\]

Так как \( y = x \), координаты искомых точек будут:

\[
(3; 3) \quad \text{и} \quad (15; 15)
\]