ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.32 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите координаты точки, равноудалённой от осей координат и от точки В (-4; 2)

Для нахождения точки, равноудалённой от осей координат и от точки \( B(-4, 2) \), необходимо решить уравнение, связывающее расстояния от данной точки \( A(x, y) \) до осей и до точки \( B \). Условие равноудалённости от осей приводит к тому, что \( |x| = |y| \). Расстояние от точки \( A \) до \( B \) равно расстоянию от \( A \) до начала координат, что даёт уравнение \( (x + 4)^2 + (y — 2)^2 = x^2 + y^2 \). Решая это уравнение, получаем два случая: \( y = x \) и \( y = -x \). В результате, точки \( (-2, 2) \) и \( (-10, 10) \) действительно равны по расстоянию от осей координат и от точки \( B \).

Для нахождения координат точки, равноудаленной от осей координат и от точки В(-4, 2), необходимо решить систему уравнений.

Пусть искомая точка имеет координаты (x, y). Тогда:

1. Расстояние от точки (x, y) до начала координат равно \(\sqrt{x^2 + y^2}\).
2. Расстояние от точки (x, y) до точки В(-4, 2) равно \(\sqrt{(x + 4)^2 + (y — 2)^2}\).
3. Условие равноудаленности от осей координат и от точки В дает уравнение:
\(\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x + 4)^2 + (y — 2)^2}\)

Возводя обе части в квадрат, получаем:
\(x^2 + y^2 = (x + 4)^2 + (y — 2)^2\)
\(x^2 + y^2 = x^2 + 8x + 16 + y^2 — 4y + 4\)
\(0 = 8x — 4y + 12\)
\(y = 2x + 3\)

Подставляя y в первое уравнение, получаем:
\(x^2 + (2x + 3)^2 = (x + 4)^2 + (2x + 3 — 2)^2\)
\(x^2 + 4x^2 + 12x + 9 = x^2 + 8x + 16 + 4x^2 + 12x + 1\)
\(0 = 0\)

Таким образом, решением является любая точка вида (x, 2x + 3), где x — произвольное действительное число.

В частности, две точки, удовлетворяющие условию:
1) (-2, 2)
2) (-10, 10)