ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.33 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки А (x; y), B (x2; y2), C (x3; У3) являются вершинами треугольника АВС. Докажите, что точка пересечения медиан этого треугольника имеет координаты \(\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\).

Точка пересечения медиан треугольника \(ABC\) с вершинами \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) и \(C(x_3, y_3)\) называется центроидом. Она делит каждую медиану в отношении 2:1. Чтобы найти координаты центроида \(G\), можно использовать формулу: \(G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\). Это происходит потому, что центроид является средним арифметическим координат всех вершин треугольника, что и доказывает, что точка пересечения медиан имеет указанные координаты.

Точка пересечения медиан треугольника \(ABC\) с вершинами \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) и \(C(x_3, y_3)\) называется центроидом. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения координат точки пересечения медиан, или центроида \(G\), необходимо учитывать, что эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1.

Сначала найдем координаты середины отрезка \(BC\). Середина \(M\) отрезка \(BC\) определяется как:
\(M\left(\frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}\right)\).

Теперь можно выразить координаты центроида \(G\). Поскольку центроид является средним арифметическим координат всех трех вершин треугольника, его координаты вычисляются по следующим формулам:
\(x_G = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\) и \(y_G = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\).

Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника \(ABC\) будут равны:
\(G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)\).

Эти формулы показывают, что центроид находится в точке, которая является «средним» местоположением всех трех вершин, и это свойство делает его важным элементом в геометрии.