ГДЗ по Геометрии 9 Класс Углубленный уровень Учебник 📕 Мерзляк, Поляков — Все Части

Геометрия

9 класс углубленный уровень учебник Мерзляк

9 класс

Тип

Гдз, Решебник.

Авторы

Мерзляк А.Г., Поляков В.М.

Год

2019-2022

Издательство

Вентана-граф

Описание

ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.34 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Задача

Точки А (1; 2), В (2; 5), С (7; 0) являются вершинами треугольника АВС. Найдите биссектрису АА этого треугольника.

Краткий ответ:

Чтобы найти длину биссектрисы \(AA\) треугольника \(ABC\) с вершинами \(A(1, 2)\), \(B(2, 5)\) и \(C(7, 0)\), сначала вычисляем длины сторон: \(AB = \sqrt{10}\), \(AC = 2\sqrt{10}\), \(BC = 5\sqrt{2}\). Угол \(A\) равен \(90^\circ\), следовательно, \(\cos\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставляя значения в формулу для длины биссектрисы \(d_a = \frac{2bc}{b+c} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right)\), получаем \(d_a = \frac{4\sqrt{5}}{3}\).

Подробный ответ:

Чтобы найти длину биссектрисы \(AA\) треугольника \(ABC\) с вершинами \(A(1, 2)\), \(B(2, 5)\) и \(C(7, 0)\), начнем с вычисления длин сторон треугольника. Длина стороны \(AB\) определяется по формуле расстояния: \(AB = \sqrt{(2 — 1)^2 + (5 — 2)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}\). Длина стороны \(AC\) вычисляется аналогично: \(AC = \sqrt{(7 — 1)^2 + (0 — 2)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\). Для стороны \(BC\) получаем: \(BC = \sqrt{(7 — 2)^2 + (0 — 5)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = 5\sqrt{2}\).

Теперь, чтобы найти угол \(A\), применим теорему косинусов. Угол \(A\) можно выразить через длины сторон: \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 — a^2}{2bc}\), где \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB\). Подставляя значения, получаем: \(\cos A = \frac{(2\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 — (5\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{40 + 10 — 50}{40} = \frac{0}{40} = 0\). Таким образом, угол \(A\) равен \(90^\circ\).

Зная угол \(A\), можем вычислить значение \(\cos\left(\frac{A}{2}\right)\). Поскольку \(A = 90^\circ\), получаем \(\cos\left(\frac{A}{2}\right) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Теперь подставим все значения в формулу для длины биссектрисы, которая выглядит так: \(d_a = \frac{2bc}{b+c} \cdot \cos\left(\frac{A}{2}\right)\). Подставляя длины сторон, получаем: \(d_a = \frac{2 \cdot \sqrt{10} \cdot 2\sqrt{10}}{\sqrt{10} + 2\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Упрощая выражение, получаем: \(d_a = \frac{4 \cdot 10}{3\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{20\sqrt{2}}{6\sqrt{10}} = \frac{10\sqrt{2}}{3\sqrt{10}}\). Умножив и разделив на \(\sqrt{10}\), получаем: \(d_a = \frac{10 \cdot 2\sqrt{5}}{30} = \frac{20\sqrt{5}}{30} = \frac{4\sqrt{5}}{3}\).

Оцени решение