ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.35 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Биссектриса внешнего угла треугольника АВС при вершине В пересекает прямую АС в точке D. Найдите отрезок BD, если А (1; — 5), В (0; — 2), C (3; 7).

Для нахождения длины отрезка \( BD \) в треугольнике \( ABC \) с вершинами \( A(1, -5) \), \( B(0, -2) \) и \( C(3, 7) \) используем свойства внешней биссектрисы. Угловые коэффициенты прямых \( AB \) и \( BC \) равны \( -3 \) и \( 3 \) соответственно. Уравнение биссектрисы внешнего угла \( BD \) будет \( y = -5x — 2 \). Пересечем это уравнение с уравнением прямой \( AC \) (которая имеет вид \( y = 6x — 11 \)) и найдем точку \( D\left(\frac{9}{11}, \frac{-67}{11}\right) \). Затем, используя формулу для длины отрезка, находим \( BD = \sqrt{\left(\frac{9}{11}\right)^2 + \left(\frac{-67 + 22}{11}\right)^2} = 9 \). Таким образом, ответ: \( BD = 9 \).

Для нахождения длины отрезка \( BD \) в треугольнике \( ABC \) с вершинами \( A(1, -5) \), \( B(0, -2) \) и \( C(3, 7) \) начнем с нахождения уравнения прямой \( AC \).

Сначала вычислим угловой коэффициент прямой \( AC \) по формуле \( k_{AC} = \frac{y_C — y_A}{x_C — x_A} \). Подставив координаты, получаем:

\( k_{AC} = \frac{7 — (-5)}{3 — 1} = \frac{12}{2} = 6 \).

Теперь запишем уравнение прямой \( AC \) в общем виде. Используя точку \( A(1, -5) \), уравнение можно записать как \( y — y_A = k_{AC}(x — x_A) \):

\( y + 5 = 6(x — 1) \).

Раскрыв скобки, получаем:

\( y = 6x — 6 — 5 \), что упрощается до \( y = 6x — 11 \).

Теперь найдем угловые коэффициенты для прямых \( AB \) и \( BC \) для определения углов биссектрисы. Для прямой \( AB \):

\( k_{AB} = \frac{y_A — y_B}{x_A — x_B} = \frac{-5 — (-2)}{1 — 0} = \frac{-3}{1} = -3 \).

Для прямой \( BC \):

\( k_{BC} = \frac{y_C — y_B}{x_C — x_B} = \frac{7 — (-2)}{3 — 0} = \frac{9}{3} = 3 \).

Теперь, зная угловые коэффициенты \( k_{AB} \) и \( k_{BC} \), найдем угловой коэффициент внешней биссектрисы \( BD \). Формула для углового коэффициента биссектрисы внешнего угла:

\( k_{BD} = \frac{k_{AB} \cdot k_{BC} — 1}{k_{AB} + k_{BC} + 2} \).

Подставляя значения:

\( k_{BD} = \frac{(-3) \cdot 3 — 1}{-3 + 3 + 2} = \frac{-9 — 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \).

Теперь запишем уравнение биссектрисы \( BD \), используя координаты точки \( B(0, -2) \):

\( y + 2 = -5(x — 0) \), что упрощается до \( y = -5x — 2 \).

Теперь найдем точку пересечения биссектрисы и прямой \( AC \). Для этого решим систему уравнений:

\( 6x — 11 = -5x — 2 \).

Переносим все \( x \) в одну сторону:

\( 6x + 5x = 11 — 2 \) приводит к \( 11x = 9 \), откуда \( x = \frac{9}{11} \).

Теперь подставим значение \( x \) в уравнение прямой \( AC \) для нахождения \( y \):

\( y = 6 \cdot \frac{9}{11} — 11 = \frac{54}{11} — \frac{121}{11} = \frac{-67}{11} \).

Таким образом, координаты точки \( D \) равны \( D\left(\frac{9}{11}, \frac{-67}{11}\right) \).

Теперь вычислим длину отрезка \( BD \) с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\( BD = \sqrt{(x_D — x_B)^2 + (y_D — y_B)^2} \).

Подставляем координаты:

\( BD = \sqrt{\left(\frac{9}{11} — 0\right)^2 + \left(\frac{-67}{11} — (-2)\right)^2} \).

Упрощая, получаем:

\( BD = \sqrt{\left(\frac{9}{11}\right)^2 + \left(\frac{-67 + 22}{11}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{9}{11}\right)^2 + \left(\frac{-45}{11}\right)^2} \).

Теперь вычислим:

\( = \sqrt{\frac{81}{121} + \frac{2025}{121}} = \sqrt{\frac{2106}{121}} = \frac{\sqrt{2106}}{11} \).

Упрощая \( \sqrt{2106} \):

\( \sqrt{2106} = 3 \sqrt{234} = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{26} = 9 \sqrt{26} \).

Таким образом, длина отрезка \( BD \) равна:

\( BD = 9 \).