ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.36 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Опишите, как, зная координаты вершин треугольника, найти координаты центра его вписанной окружности.

Чтобы найти координаты центра вписанной окружности треугольника с вершинами \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) и \( C(x_3, y_3) \), сначала вычислите длины сторон: \( a = \sqrt{(x_2 — x_3)^2 + (y_2 — y_3)^2} \), \( b = \sqrt{(x_1 — x_3)^2 + (y_1 — y_3)^2} \), \( c = \sqrt{(x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2} \). Затем координаты центра вписанной окружности \( I(x, y) \) вычисляются по формулам \( x = \frac{a x_1 + b x_2 + c x_3}{a + b + c} \) и \( y = \frac{a y_1 + b y_2 + c y_3}{a + b + c} \). Например, для треугольника с вершинами \( A(0, 0) \), \( B(4, 0) \) и \( C(2, 3) \) получаем \( a = \sqrt{13} \), \( b = \sqrt{13} \), \( c = 4 \), что приводит к координатам центра вписанной окружности \( I \left( \frac{4\sqrt{13} + 8}{2\sqrt{13} + 4}, \frac{12}{2\sqrt{13} + 4} \right) \).

Чтобы найти координаты центра вписанной окружности треугольника с вершинами \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \) и \( C(x_3, y_3) \), необходимо сначала вычислить длины сторон треугольника. Длина стороны \( a \), противоположной вершине \( A \), рассчитывается по формуле:

\( a = \sqrt{(x_2 — x_3)^2 + (y_2 — y_3)^2} \).

Длина стороны \( b \), противоположной вершине \( B \), определяется как:

\( b = \sqrt{(x_1 — x_3)^2 + (y_1 — y_3)^2} \).

Длина стороны \( c \), противоположной вершине \( C \), вычисляется следующим образом:

\( c = \sqrt{(x_1 — x_2)^2 + (y_1 — y_2)^2} \).

После того как длины сторон найдены, можно перейти к вычислению координат центра вписанной окружности \( I(x, y) \). Координата \( x \) центра вписанной окружности вычисляется по формуле:

\( x = \frac{a x_1 + b x_2 + c x_3}{a + b + c} \).

Координата \( y \) центра вписанной окружности определяется по аналогичной формуле:

\( y = \frac{a y_1 + b y_2 + c y_3}{a + b + c} \).

Теперь рассмотрим конкретный пример. Пусть треугольник задан вершинами \( A(0, 0) \), \( B(4, 0) \) и \( C(2, 3) \). Сначала находим длины сторон:

1. Для стороны \( a \):

\( a = \sqrt{(4 — 2)^2 + (0 — 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \).

2. Для стороны \( b \):

\( b = \sqrt{(0 — 2)^2 + (0 — 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \).

3. Для стороны \( c \):

\( c = \sqrt{(0 — 4)^2 + (0 — 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \).

Теперь имеем длины сторон: \( a = \sqrt{13} \), \( b = \sqrt{13} \), \( c = 4 \). Подставляем эти значения в формулы для координат центра вписанной окружности.

Сначала вычислим координату \( x \):

\( x = \frac{\sqrt{13} \cdot 0 + \sqrt{13} \cdot 4 + 4 \cdot 2}{\sqrt{13} + \sqrt{13} + 4} = \frac{0 + 4\sqrt{13} + 8}{2\sqrt{13} + 4} = \frac{4\sqrt{13} + 8}{2\sqrt{13} + 4} \).

Теперь вычислим координату \( y \):

\( y = \frac{\sqrt{13} \cdot 0 + \sqrt{13} \cdot 0 + 4 \cdot 3}{\sqrt{13} + \sqrt{13} + 4} = \frac{0 + 0 + 12}{2\sqrt{13} + 4} = \frac{12}{2\sqrt{13} + 4} \).

Таким образом, координаты центра вписанной окружности треугольника с заданными вершинами равны:

\( I \left( \frac{4\sqrt{13} + 8}{2\sqrt{13} + 4}, \frac{12}{2\sqrt{13} + 4} \right) \).