ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.37 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Точки А (1; 1), В (3; 4), С (6; 4), D (7; 1) — вершины трапеции ABCD. Найдите координаты точки пересечения диагоналей трапеции.

Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей трапеции ABCD с вершинами A(1, 1), B(3, 4), C(6, 4) и D(7, 1), сначала находим уравнения диагоналей AC и BD. Уравнение прямой AC: \(y = \frac{3}{5}x + \frac{2}{5}\), а уравнение прямой BD: \(y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}\). Приравняв эти уравнения, получаем \(x = \frac{13}{3}\). Подставив \(x\) в уравнение AC, находим \(y = 3\). Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей: \(\begin{cases} x = \frac{13}{3} \\ y = 3 \end{cases}\).

Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей трапеции ABCD с вершинами A(1, 1), B(3, 4), C(6, 4) и D(7, 1), начнем с нахождения уравнений диагоналей AC и BD.

Сначала найдем уравнение прямой AC. Угловой коэффициент \(k_1\) для прямой AC можно вычислить по формуле:

\(k_1 = \frac{y_C — y_A}{x_C — x_A} = \frac{4 — 1}{6 — 1} = \frac{3}{5}\).

Теперь, используя точку A(1, 1), запишем уравнение прямой в точечно-угловой форме:

\(y — 1 = \frac{3}{5}(x — 1)\).

Преобразуем это уравнение в общий вид:

\(y = \frac{3}{5}x + \frac{2}{5}\).

Теперь найдем уравнение прямой BD. Угловой коэффициент \(k_2\) для прямой BD рассчитывается аналогично:

\(k_2 = \frac{y_D — y_B}{x_D — x_B} = \frac{1 — 4}{7 — 3} = -\frac{3}{4}\).

Используя точку B(3, 4), запишем уравнение прямой BD:

\(y — 4 = -\frac{3}{4}(x — 3)\).

Перепишем это уравнение в общем виде:

\(y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}\).

Теперь у нас есть два уравнения для нахождения точки пересечения диагоналей:

1. \(y = \frac{3}{5}x + \frac{2}{5}\)
2. \(y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}\)

Приравняем эти два уравнения:

\(\frac{3}{5}x + \frac{2}{5} = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}\).

Умножим все на 20, чтобы избавиться от дробей:

\(12x + 8 = -15x + 125\).

Соберем все \(x\) на одной стороне:

\(12x + 15x = 125 — 8\), что упрощается до:

\(27x = 117\).

Теперь решим это уравнение для \(x\):

\(x = \frac{117}{27} = \frac{13}{3}\).

Теперь подставим найденное значение \(x\) в уравнение AC, чтобы найти \(y\):

\(y = \frac{3}{5} \cdot \frac{13}{3} + \frac{2}{5}\).

Упрощаем это:

\(y = \frac{13}{5} + \frac{2}{5} = \frac{15}{5} = 3\).

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей трапеции ABCD:

\( \begin{cases} x = \frac{13}{3} \\ y = 3 \end{cases} \).