ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.38 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На бумаге в клетку изображён 10-угольник так, что все его вершины расположены в узлах сетки. Докажите, что в этом многоугольнике существует по крайней мере две диагонали, каждая из которых содержит узел сетки, отличный от вершины.

В 10-угольнике, вершины которого расположены в узлах сетки, существует по крайней мере две диагонали, каждая из которых содержит узел сетки, отличный от вершины, благодаря тому, что общее количество диагоналей (35) значительно превышает количество вершин (10). При этом, учитывая, что диагонали могут пересекаться и проходить через узлы сетки, можно применить принцип Дирихле: при 10 вершинах и большом количестве возможных узлов, по крайней мере две диагонали будут пересекаться в узле, не совпадающем с вершинами многоугольника.

В 10-угольнике, вершины которого расположены в узлах сетки, можно доказать существование как минимум двух диагоналей, содержащих узел сетки, отличный от вершин, используя свойства многоугольников и принципы комбинаторики.

Сначала определим количество диагоналей в 10-угольнике. Общее количество диагоналей \( D \) в многоугольнике с \( n \) вершинами вычисляется по формуле \( D = \frac{n(n-3)}{2} \). Подставляя \( n = 10 \), получаем:

\[
D = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35.
\]

Это означает, что в 10-угольнике есть 35 диагоналей. Каждая диагональ соединяет две несоседние вершины, что создает множество вариантов для их расположения.

Теперь рассмотрим, как могут располагаться эти диагонали в пространстве узлов сетки. Поскольку все вершины находятся в целых координатах, диагонали, соединяющие эти вершины, могут пересекаться с другими узлами сетки. Если мы проведем диагонали между различными парами вершин, они будут пересекаться в различных точках, и некоторые из этих точек будут узлами сетки.

Для дальнейшего анализа применим принцип Дирихле, который утверждает, что если количество объектов (в данном случае диагоналей) превышает количество мест, куда их можно разместить (узлы сетки), то по крайней мере один узел будет содержать более одного объекта. В нашем случае количество диагоналей (35) значительно превышает количество вершин (10), и, поскольку узлов сетки в данной области много, это приводит к тому, что хотя бы две диагонали будут пересекаться в узле, не совпадающем с вершинами.

Таким образом, благодаря большому количеству диагоналей и узлов сетки, мы можем с уверенностью утверждать, что в 10-угольнике существует как минимум две диагонали, каждая из которых проходит через узел сетки, отличный от вершин.