ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 8.39 Углубленный уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

На бумаге в клетку выделен квадрат сетки, в котором отметили три вершины (рис. 8.7). Разрешается отмечать новые точки по такому правилу: если A и B — уже отмеченные точки, то новую точку X можно отметить так, чтобы точка B была серединой отрезка AX или точка A была серединой отрезка BX (рис. 8.8). Можно ли с помощью этого правила отметить и четвёртую вершину выделенного квадрата?

Нельзя отметить четвёртую вершину выделенного квадрата, используя предложенное правило. При добавлении новых точек, основанном на том, что одна из уже отмеченных точек является серединой отрезка между двумя другими, все отмеченные точки будут располагаться на одной прямой или на пересечении нескольких прямых. Если три отмеченные точки \( A \), \( B \) и \( C \) не находятся на одной линии, то четвёртая вершина квадрата не может быть добавлена, так как она не будет находиться в пределах квадрата.

Нельзя отметить четвёртую вершину выделенного квадрата, используя предложенное правило. Рассмотрим три отмеченные точки \( A \), \( B \) и \( C \). Если мы применяем правило добавления новых точек, то новая точка \( X \) может быть добавлена так, что либо \( B \) является серединой отрезка \( AX \), либо \( A \) является серединой отрезка \( BX \). Это означает, что \( X \) будет находиться на прямой, проходящей через \( A \) и \( B \), или на прямой, проходящей через \( B \) и \( C \).

Если точки \( A \), \( B \) и \( C \) не лежат на одной прямой, то добавление четвёртой точки \( D \) в квадрат становится невозможным, так как \( D \) должно находиться в пределах квадрата, а не на прямой, соединяющей \( A \), \( B \) и \( C \). В случае, если все три точки коллинеарны, четвёртая вершина квадрата также не может быть добавлена, поскольку она не будет находиться в пределах квадрата.

Таким образом, в любом случае, независимо от расположения трёх отмеченных точек, четвёртую вершину выделенного квадрата нельзя отметить с помощью предложенного правила.

В 10-угольнике, вершины которого расположены в узлах сетки, можно доказать существование как минимум двух диагоналей, содержащих узел сетки, отличный от вершин, используя свойства многоугольников и принципы комбинаторики.

Сначала определим количество диагоналей в 10-угольнике. Общее количество диагоналей \( D \) в многоугольнике с \( n \) вершинами вычисляется по формуле \( D = \frac{n(n-3)}{2} \). Подставляя \( n = 10 \), получаем:

\[
D = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35.
\]

Это означает, что в 10-угольнике есть 35 диагоналей. Каждая диагональ соединяет две несоседние вершины, что создает множество вариантов для их расположения.

Теперь рассмотрим, как могут располагаться эти диагонали в пространстве узлов сетки. Поскольку все вершины находятся в целых координатах, диагонали, соединяющие эти вершины, могут пересекаться с другими узлами сетки. Если мы проведем диагонали между различными парами вершин, они будут пересекаться в различных точках, и некоторые из этих точек будут узлами сетки.

Для дальнейшего анализа применим принцип Дирихле, который утверждает, что если количество объектов (в данном случае диагоналей) превышает количество мест, куда их можно разместить (узлы сетки), то по крайней мере один узел будет содержать более одного объекта. В нашем случае количество диагоналей (35) значительно превышает количество вершин (10), и, поскольку узлов сетки в данной области много, это приводит к тому, что хотя бы две диагонали будут пересекаться в узле, не совпадающем с вершинами.

Таким образом, благодаря большому количеству диагоналей и узлов сетки, мы можем с уверенностью утверждать, что в 10-угольнике существует как минимум две диагонали, каждая из которых проходит через узел сетки, отличный от вершин.